اتحاد چیست (بخش 2)

اتحاد چیست (بخش 1) را ببینید.

بنابر دادهای مساله داریم:

≠ q , q ≠ r , r ≠ p
ap² + p + c = 0     (1)
aq² + bq + c = 0     (2)
ar² + br + c = 0     (3)

(1) , (2) => ap² + bp + c - (aq² + q + c) = 0 => ap² - aq² + p - bq + c - c = 0
=> a (p² - q²) + b (p - q) + 0 = 0 => (p - q)(ap + q + b) = 0

‎p - q = 0  ‎ یا ‎  a (p + q) + b = 0     (i)‎
‎p ≠ ‎ بنابر فرض ‎=> p - q ≠ 0     (ii)‎

(i) , (ii) => a (p + q) + b = 0     (4)

به دلیل مشابه داریم:

a (p + r) + = 0     (5)

از آن جا که p و q و r سه عدد متمایزاند، دو عدد ‎p + q‎ و ‎p + r‎ نیز متمایزاند.
پس بنابر (4) و (5) و قضیه‌ای (اتحاد چیست (بخش1)) ‎a=0‎ و است. پس داریم:

0 × p² + 0 × p + c = 0 => 0 + c = 0 => c = 0

بنابراین برای هر عدد حقیقی دلخواه داریم:

at² + bt + c = 0 × + 0 × t + 0 = 0 + 0 + 0 = 0

به خواسته‌ی خود رسیدیم.