اصل ضرب -1

پسر و 4 دختر به چند روش می‌توانند در یک صف بایستند، اگر
الف) هیچ شرطی نداشته باشیم.
ب) بخواهیم همه‌ی پسرها پیش هم باشند.
پ) بخواهیم همه‌ی دخترها پیش هم باشند.
ت) بخواهیم پسرها پیش هم نباشند.
ث) بخواهیم نه پسرها و نه دخترها پیش هم نباشند.

در ادامه به بخش الف این پرسش خواهیم پرداخت.

---

الف) هیچ شرطی نداشته باشیم.
راه 1: از اصل ضرب کمک می‌گیریم. صف کشیدن این نفر را در 7 مرحله به انجام می‌رسانیم:

• مرحله 1- نشاندن مریم (یکی از دختر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 2- نشاندن سارا (یکی از 4 دختر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 3- نشاندن شهلا (یکی از 4 دختر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 4- نشاندن مرضیه (یکی از دختر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 5- نشاندن علی (یکی از پسر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 6- نشاندن رضا (یکی از 3 پسر) در جایی ویژه در صف 7 نفره
• مرحله 7- نشاندن سعید (یکی از 3 پسر) در جایی ویژه در صف 7 نفره

در آغاز، صف 7 نفره تهی است و کسی در آن جای نگرفته است. پس انجام مرحله‌ی 1 به 7 روش شدنی است. (یکی از جاهای شماره 1 تا 7 را به مریم بدهیم.)
اکنون برای انجام مرحله‌ی 2، تنها جای تهی داریم. زیرا یکی از جاها را مریم گرفت. پس یکی از 6 جای مانده را به سارا می‌دهیم. این کار به 6 روش شدنی است.
با همین روند، انجام مرحله‌ی 3 به روش شدنی است.
با همین روند، انجام مرحله‌ی 4 به 4 روش شدنی است.
با همین روند، انجام مرحله‌ی به 3 روش شدنی است.
با همین روند، انجام مرحله‌ی 6 به 2 روش شدنی است.
با همین روند، انجام مرحله‌ی 7 به 1 روش شدنی است.
یادآوری می‌کنیم که هر یک از این 7 مرحله بخشی از این کار (صف کشیدن 7 نفر) هستند و اگر هر یک از این 7 مرحله انجام نشود، همه‌ی کار انجام نشده است. بلکه بخشی از آن انجام شده است.
پس بنا بر اصل ضرب، شمار روش‌های انجام این کار (صف کشیدن 7 نفر) برابر حاصل ضرب شمار انجام این مرحله‌ها است:

شمار حالت‌های صف کشیدن 7 نفر ‎=7××5×4×3×2×1=7!‎

---

راه 2: جور دیگر می‌اندیشیم. مرحله‌ها را در جاهای شماره 1 تا شماره می‌بینیم:

• مرحله 1- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 1 صف (جلوی صف)
• مرحله 2- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 2 صف
• مرحله 3- برگزیدن یکی از نفر برای ایستادن در جای شماره 3 صف
• مرحله 4- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 4 صف
• مرحله 5- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 5 صف
• مرحله 6- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 6 صف
• مرحله 7- برگزیدن یکی از 7 نفر برای ایستادن در جای شماره 7 صف

در آغاز هیچ کس در صف نیست. پس برای انتخاب یکی از این 7 نفر (مریم و سارا و شهلا و مرضیه و علی و رضا و سعید) آزادیم و به روش می‌توانیم نفر جلوی صف را برگزینیم.
با همین روند، برای برگزیدن کسی برای جای شکاره 2 صف، گزینه بیش‌تر نداریم. زیرا در مرحله‌ی 1، یک نفر را جلوی صف جای داده‌ایم. اکنون او دیگر در گزینه‌های ما نیست.
با همین روند، برای جای 3 صف، به 5 روش می‌توانیم کسی را برگزینیم.
با همین روند، برای جای 4 صف، به 4 روش می‌توانیم کسی را برگزینیم.
با همین روند، برای جای 5 صف، به 3 روش می‌توانیم کسی را برگزینیم.
با همین روند، برای جای 6 صف، به 2 روش می‌توانیم کسی را برگزینیم.
با همین روند، برای جای 7 صف، به 1 روش می‌توانیم کسی را برگزینیم.

این 7 مرحله به درستی بخش‌هایی از کار ساختن صف هستند. و اگر یکی از این 7 مرحله انجام نشود، همه‌ی کار انجام نشده است بلکه بخشی از آن انجام شده است.
پس بنابر اصل ضرب، شمار روش‌های انجام این کار (صف کشیدن 7 نفر) برابر با حاصل ضرب شکار انجام این مرحله‌ها است:

شمار حالت‌های صف کشیدن 7 تفر ‎= 7×6××4×3×2×1=7!‎

برای روشن‌تر شدن سایه روشن استدلال خود، چند تا از صف‌های ساخته شده فهرست می‌کنیم:

سعید شهلا رضا مریم سارا مرضیه علی
رضا شهلا سعید مریم سارا مرضیه علی
سارا شهلا علی سعید مرضیه رضا مریم

اگر هنوز بخش‌هایی از استدلال برایتان روشن نیست، دست به کار شوید. همه‌ی روش‌های صف کشیدن پسر و 2 دختر را بنویسید. کسی نیست که با انجام این کار دید به‌تری پیدا نکرده باشد. و فراوان دیده‌ام کسانی را که کوهی از قضیه‌ها و مساله‌های حل شده را به یاد دارند و با کمی جابه‌جایی در نام‌ها و بیان مساله، تنها نگاه می‌کنند. این سفارش را به گوش جان بشنوید.

---

تمرین اول
از شما چه پنهان،‌ هادی تلاش کرد تا همه‌ی روش‌های صف کشیدن سه نفر (سعید، حمید و پارسا) را فهرست کند. او این روش را پیدا کرده است:

حمید سعید پارسا
حمید پارسا سعید
پارسا حمید سعید
پارسا سعید حمید
سعید حمید پارسا
بررسی کنید که او کدام روش‌ها را جا انداخته است. هم‌چنین روشی نظام‌دار پیش بگیرید که بتوانید با استدلال از گفته‌ی خود دفاع کنید.

---

تمرین دوم
همه‌ی روش‌های صف کشیدن نفر چند تا است؟ همه را فهرست کنید.

---

شما تنها نیستید. بسیاری پس از شنیدن راه 1 و راه 2، این دو راه را دو تا نمی‌دانند و آن‌ها را تکرار هم می‌پندارند. شگفتا! با تیزبینی تلاش کنید ریزه‌کاری‌ها را ببینید. این کمک را هم داشته باشید و بشنوید که در برخی پرسش‌ها یکی از این راه‌ها بسته است و باید دیگری را پیش بگیرید. ببینید:
تمرین سوم
قطاری با مسافر راه می‌افتد و پس از آن در یازده ایستگاه نگه می‌دارد. هر مسافر می‌تواند در یکی از این ایستگاه پیاده شود و باید چنین کند. جوری که در ایستگاه یازدهم همه‌ی مسافرهای مانده باید پیاده شوند.
این مسافر به چند روش می‌توانند در این یازده ایستگاه پیاده شوند؟