اصل ضرب -2

پسر و 4 دختر به چند روش می‌توانند در یک صف بایستند، اگر
الف) هیچ شرطی نداشته باشیم.
ب) بخواهیم همه‌ی پسرها پیش هم باشند.
پ) بخواهیم همه‌ی دخترها پیش هم باشند.
ت) بخواهیم پسرها پیش هم نباشند.
ث) بخواهیم نه پسرها و نه دخترها پیش هم نباشند.

یادآوری در بخش الف یاد گرفتیم که نفر به ‎n!‎ روش می‌توانند صف بکشند.
اکنون به بخش (ب) این پرسش خواهیم پرداخت.

ب) بخواهیم همه‌ی پسرها پیش هم باشند.

راه 1: کار صف کشیدن پسر و 4 دختر (جوری که پسرها، همه پیش هم باشند)‌ را به چند مرحله‌ی کوچک‌تر تقسیم می‌کنیم.

• مرحله 1- هر 4 دختر را در یک صف می‌ایستانیم.
• مرحله 2- هر 3 پسر را در یک صف دیگر می‌ایستانیم.
• مرحله 3- صف پسرها را در صف نفره‌ی دخترها جای می‌دهیم.

شمار روش‌های انجام مرحله‌ی 1 بسیار ساده و سرراست، برابر است.
شمار روش‌های انجام مرحله‌ی 2 بسیار ساده و سرراست، برابر ‎3!‎ است.
برای شمردن روش‌های انجام مرحله‌ی 3، باید کمی تیزبین باشیم. صف چهار نفره‌ی دخترها اکنون جا برای جا دادن پسرها دارد. پیش از هر دختر یک جا (قرمز) هست و پس از پایان صف نیز یک جا (سبز) هست.
ببینید:

پس صف سه نفره‌ی پسرها را در هر یک از این 5 جا می‌توان گذاشت. یعنی مرحله‌ی به روش انجام پذیر است.
از طرفی اگر هر یک از مرحله‌های 1 و 2 و 3 انجام نشود، تنها بخشی از کار انجام شده است. پس این مرحله‌ها به درستی،‌ مرحله‌های انجام کار (ب) هستند. پس بنابر اصل ضرب، کار (ب) به روش انجام پذیر است.

راه 2: از شما چه پنهان پاسخ ‎4!×3!×5‎ را می‌توان با کمی جابه‌جایی ‎5!×4!‎ دید. و آرزو می‌کنیم که روشی نو بیابیم که در دو مرحله کارساز باشد.
بودن ‎3!‎ پیشنهاد می‌کند که یک مرحله باید صف کشیدن پسرها باشد و را این جوری راست و ریست می‌کنیم:

• مرحله 1- هر 3 پسر را در یک صف دیگر می‌ایستانیم.
• مرحله 2- صف سه نفره‌ی پسرها را یک نفر می‌گیریم و این یک نفر را با 4 دختر در یک صف می‌ایستانیم.

مرحله‌ی 1 به سادگی به ‎3!‎ روش انجام‌پذیر است.
مرحله‌ی 2 به سادگی به ‎5!‎ روش انجام‌پذیر است.

از طرفی اگر هر یک از مرحله‌های 1 و 2 انجام نشود، تنها بخشی از کار انجام شده است. پس این مرحله‌ها به درستی مرحله‌های انجام کار (ب) هستند. پس بنابر اصل ضرب، کار (ب) به روش انجام‌پذیر است.

لغزش‌های فراگیر
روش نادرست: صف 7 نفره‌ی تهی را می‌گیریم و کم‌کم آن را پر می‌کنیم.

• مرحله 1- یکی از پسرها را در صف تهی جای می‌دهیم.
• مرحله 2- پسر بعدی را کنار پسر مرحله 1 جای می‌دهیم.
• مرحله 3- پسر سوم را کنار پسر مرحله 2 جای می‌دهیم.

• مرحله 4- هر دختر را در یک صف 4 نفره می‌ایستانیم و سپس آن‌ها را با همین ترتیب در جاهای تهی صف 7 نفره جای می‌دهیم.

مرحله 1 به 5 روش انجام پذیر است. زیرا باید برای بعد از این پسر دو جا برای پسرهای دیگر نگه داریم. پس این پسر نمی‌تواند در جاهای 6 یا 7 صف بایستد. او را باید در یکی از جاهای 1 تا بایستانیم.
مرحله 2 به 1 روش انجام‌پذیر است.
مرحله 3 نیز به روش انجام‌پذیر است.
در مرحله 4 به ‎4!‎ روش دخترها صف می‌سازند. سپس هر صف ساخته شده را تنها به یک روش می‌تواند در صف 7 نفره گنجاند.
بنابراین با ضرب شمار این روش‌ها پاسخ برابر ‎5×4!‎ خواهد بود.

لغزش کجا بود؟

• لغزش 1- گنگ گویی

مرحله 1 بسیار غم‌بار است. "یکی از پسرها را در صف تهی جای می‌دهیم."
این کار، کاری روشن و آشکار نیست. گویی یک مرحله چنین باشد: "یک کاری انجام می‌دهیم. بیکار نمی‌نشینیم."

لغزش گنگ و پوشیده‌گویی، فراگیرترین لغزش در پرسش‌های شمارش است. به ویژه تازه‌کارها بیش‌تر گرفتار آن می‌شوند.
در استدلال‌های ساده، بپایید و سرسری نگذرید. شاید بد نباشد که به بخش الف بازگردید و ببینید مرحله 1 در راه 1 چه‌گونه گفته شده است. چرا گنگ و پوشیده نیست.

• لغزش 2- پیمان بی‌خودی

لغزش دوم این راه حل پس از به‌سازی لغزش گنگ‌گویی رخ می‌نماید. برای روشن شدن مرحله 1 باید چیزی مانند این بگوییم: "علی را در صف تهی جای می‌دهیم." به روشنی می‌بینید که پیمان بسته‌ایم که علی نخستین پسر در صف باشد و پسرهای دیگر باید پس از او در صف دیده شوند. پس پاسخی که یافته‌ایم کم‌تر از آن چه باید است و یکی از سان‌هایی که نشمرده‌ایم، این است:

مریم سارا مرضیه شهلا سعید علی رضا