انتفای مقدم (بخش1)

مساله‌ای معروف: اگر ‎x + ${\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}$ ‎ =1‎ باشد، مقدار $x^{1393}+\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^{1393}}}$ را بیابید.

راه معروف 1 (در ادامه نقد خواهد شد)

$x+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}=1 \qquad\longrightar[40] \limits^{x\not{=}0}\qquad x^2-x+1=0$

$\to (x+1)(x^2-x+1)=0 \to x^3=1$

x¹³⁹³+ $\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^{1393}}}$ = (x³)⁴⁶⁴ x + $\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{(x^3)^{464}x}}$

= (-1)⁴⁶⁴x+ $\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{(-1)^{464}x}}$ = x + ${\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}$ = 1

راه 2 (در ادامه نقد خواهد شد)

اگر ‎a_n = xⁿ + $\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^n}}$ ‎ باشد، این لم به سادگی اثبات می‌شود:

a_n+1 = a_n a₁ - $a_{n-1}$

حکم: با تعریف ‎a_n = xⁿ + $\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^n}}$ ‎ و فرض ‎a₁ = 1‎ برای هر عدد طبیعی k داریم:

a_6k-5= $1$ , a_6k-4=-1 , a_6k-3= $2$ , a_6k-2=-1 , a_6k-1=1 , a_6k=2

این حکم به کمک استقرای ریاضی و لم یاد شده، بسیار سرراست اثبات می‌شود.
پس از آن جا که ‎1393 = $6$ × 233 - 5‎، داریم: ‎a₁₃₉₃= $1$ ‎

راه 3 (نقد دو راه پیشین)

دو روش حل پیشین در میدان عددهای مختلط و نیز میدان عددهای حقیقی معتبر و درست هستند. به ویژه راه دوم در میدان عددهای مختلط بسیار چابک‌تر و کاراتر است.
اما در میدان عددهای حقیقی (معلومات دبیرستانی) شاید روش زیر دست کم قابل شنیدن باشد:

$x+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}=1\qquad\longrightar[40] \limits^{x\not{=}0}\qquad$ x²-x+1=0 -> (x- ${{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}}$ )²+ ${{\hspace{2}3\hspace{2}}\over{4}}$ =0

به نتیجه‌ای نادرست رسیدیم. پس $x+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}=1$ نمی‌تواند درست باشد و دقیقا نادرست است.
بنابراین نتیجه گیری $x+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}=1 \to x^{1393}+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^{1393}}}}=1$ یا حتی $x+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x}}}=1 \to x^{1393}+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^{1393}}}}=2.65$ به انتفای مقدم هر دو درست هستند.

توجه کنید هیچ یک از استدلال‌های 1، 2 یا 3 درستی $x^{1393}+{\fs3{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{x^{1393}}}}=1$ را اثبات نمی‌کنند. بلکه همگی "به درستی" این برابری را نتیجه می‌گیرند.

آقا اجازه! انتفای مقدم یعنی چه؟

دانش‌آموزانی که با اصطلاح انتفای مقدم آشنا نیستند این مطلب کوتاه را ببینید تا بعد:

$\left. 1=2\\5=5\right\}$ -> 5+1=5+2 -> 6=7

$\left. 1=2\\2=1\right\}$ -> 1+2=2+1 -> 3=3

یعنی از یک گزاره‌ی نادرست (به عنوان مقدم یا مقدمه) هم می‌توان "به درستی" یک گزاره‌ی نادرست را نتیجه گرفت و هم می‌توان "به درستی" یک گزاره‌ی درست را نتیجه گرفت.

پس از هر گزاره‌ی نادرستی، به انتفای مقدم می‌توان هر گزاره‌ی دیگری را (چه گزاره‌ی درست و چه گزاره‌ی نادرست) "به درستی" نتیجه گرفت. و درگیر چند و چون روش و راه حل نبود.

درس:

نهم- ریاضی- فصل3- استدلال و اثبات در هندسه

انتفای مقدم (بخش1)

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

انتفای مقدم (بخش1)

نمونه تمرين پويا

پیمایش