حل مساله - درسی به بزرگی اتوبوس (بخش 2)

اتوبوسی مسافر و یک راننده دارد. راننده هیچ پولی ندارد. کرایه‌ی هر مسافر برابر تومان است.
هر مسافر دست کم به اندازه‌ی کرایه‌ی خود پول دارد. هیچ دو نفری با هم نیستند و هر کس باید تنها کرایه‌ی خود را بدهد. مسافران تنها سکّه‌های 10، 20 و تومانی دارند. می‌دانیم که مجموع پول مسافران روی هم تومان است.
آیا حالتی وجود دارد که مسافران بتوانند کرایه‌های خود را بی بیش و کم پرداخت کنند و بروند؟ اگر بله، چه جوری؟ اگر نه، چرا؟

درس بزرگ را از یاد نبرید.
“از مساله نترسید و هر چه می‌فهمید بنویسید. حتّی اگر به نظرتان بسیار ساده بیایند و کارگشا نباشند.”

سراغ مطالب ساده‌ای می‌رویم که به ذهن رسیده بودند.

• 1- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 25 تومانی بدهد و تومانی پس بگیرد.
• 2- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 40 تومان بدهد و 25 تومانی پس بگیرد.
• 3- پرداخت تومان در بند پیش به سه روش شدنی است.
• 4- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 35 تومان بدهد و 20 تومانی پس بگیرد.
• 5- هر مسافر به اندازه‌ی کرایه‌ی خود پول دارد. پس هر مسافر دست کم 15 تومان پیش خود پول دارد.
• 6- بند 5 شدنی نیست.(چرا؟) پس هر مسافر دست کم تومان پیش خود پول دارد.
• 7- بند 6 هم شدنی نیست. (چرا؟) پس هر مسافر پیش خود دست کم 25 تومان پول دارد.
• 8- کرایه‌ی هر نفر 15 تومان است. پس کرایه‌ی همه‌ی 40 مسافر روی هم 600 تومان است.
• 9- پول همه‌ی مسافران روی هم 995 تومان است. پس همه‌ی مسافران روی هم، دست کم یک سکّه‌ی تومانی دارند.
• 10- از بند 9 می‌فهمیم که تعداد سکّه‌های 25 تومانی که پیش مسافران است، زوج نیست. بلکه فرد است.
• 11- همه‌ی 40 مسافر روی هم تومان پول دارند. یعنی تقریباً سهم هر کس از این پول، 995 تومان تقسیم بر 40 است. یعنی تقریباً هر کس 24.875 تومان پول دارد.
• 12- شدنی نیست که هر کس 24.875 تومان پول داشته باشد. پس برخی بیش از این مقدار و برخی کم‌تر از این مقدار پول دارند. پول هر مسافر باید مجموعی از عددهای 10 و 20 و باشد.
• 13- هیچ‌ کس نمی‌تواند در آغاز کرایه‌ی خود را بدهد و برود. چون راننده هیچ پولی ندارد. پس نفر نخست باید پول خود را به راننده بدهد و منتظر بایستد تا راننده بقیّه‌ی پول او را از نفر یا نفرهای بعدی بگیرد و بدهد.
• 14- یک مثال خوب این است که حسن 25 تومان داشته باشد و محبوبه تومان (مثلاً دو تا تومانی و یک 20 تومانی) و هر دو پولشان را به راننده بدهند. حسن یک 10 تومانی از راننده بگیرد و محبوبه هم یک 25 تومانی از راننده بگیرد و هر دو پیاده شوند و بروند.
• 15- مثال بند 14 را می‌توان جوری کامل‌تر کرد که حسن و بهرام هر یک 25 تومان داشته باشند و هر یک 10 تومان بگیرند و محبوبه هم 25 تومان بگیرد و هر سه پیاده شوند.

می‌توان بندهایی مانند بند 14 و را برای تعداد بیش‌تری از مسافران بررسی کرد. ولی خوب است که همین نتیجه‌ها را بار دیگر بخوانیم و تلاش کنیم تا ارتباطی احتمالی را بین آن‌ها ببینیم و بفهمیم.

از بند 1 و بند و بند 4 می‌توان چیز نویی فهمید. شاید خیلی بیهوده به نظر برسد. ولی قرار شد هر نتیجه‌ای را بنویسم. از این سه بند می‌توان فهمید که

• 16- هر مسافر پس از پرداخت کرایه‌ی خود و پیاده شدن از اتوبوس، حتماً همراه خود پول دارد.
  نتیجه‌ی بعدی هم ساده است.
• 17- هر مسافر پس از پرداخت کرایه و پیاده شدن، دست کم 10 تومان پول همراه خود دارد.
  امیدوارم نتیجه‌ی بعدی را زودتر از من نوشته باشید.
• 18- مسافران پس از پرداخت کرایه و پیاده شدن، دست کم 400 تومان پول با خود به بیرون اتوبوس برده‌اند.

حالا بار دیگر بندهای 1 تا را بخوانید و تلاش کنید ارتباط احتمالی آن‌ها را ببینید و بفهمید.

حلّ مساله

با توجّه به سکّه‌هایی که مسافران دارند، هیچ مسافری نمی‌تواند تومان کرایه‌ی خود را بدهد و برود. پس هر مسافر دست کم با 10 تومان پول از اتوبوس بیرون می‌رود.
یعنی اگر فرض کنیم که بالاخره ترتیبی وجود دارد که مسافران بتوانند کرایه‌ی خود را پرداخت کنند و بروند، این 40 مسافر در مجموع 400 تومان پول را با خود به بیرون اتوبوس می‌برند.
از طرفی مجموع همه‌ی پول‌های مسافران برابر تومان بوده است. پس بیشینه‌ی پولی که می‌تواند نزد راننده در اتوبوس باقی بماند برابر 995 تومان منهای 400 تومان است.
یعنی بیشینه‌ی پولی که به عنوان کرایه می‌تواند نزد راننده بماند 595 تومان است. در حالی که کرایه‌ی 40 مسافر برابر 600 تومان است.
پس پرداخت کرایه‌ی مسافران به هیچ روشی شدنی نیست.

باز هم ساده‌ترین نتیجه‌گیری‌هایی که به نظر هر کسی می‌رسد، در این مساله تقریباً بخش عمده‌ی راه حل را ساختند. خجالت نکشید و دست کم پیش خودتان و روی یک کاغذ، هر چه را می‌فهمید بنویسید.
اگر بتوانید چنین کنید، بزرگ‌ترین گام را در حلّ مساله برداشته‌اید. پس تمرین کنید.