داستان‌های ریاضی – استدلال 3

فاطمه کتابی خوانده بود و در حلّ یکی از پرسش‌های آن مانده بود. در کلاس مساله‌اش را به تخته زدیم:

ثابت کنید برابری ‎x(x+1)=x²+x‎ یک اتّحاد است.

دو هفته‌ای بود که اتّحادها را درس گفته بودم و بچّه‌ها خوب تمرین حل کرده بودند. (تمرین‌ها را برای شما هم خواهم آورد.) هم چنین برخی علاقه‌ی بیش‌تری داشتند یا می‌خواستند تر و فرزتر مساله حل کنند. به آن‌ها نیز کلّی تمرین اضافه‌تر داده بودم و حل کرده بودند. پریسا که همه‌ی تمرین‌های اضافه را حل کرده بود و دست تندی داشت، گفت که می‌تواند این تمرین را حل کند. آمد پای تخته و چنین استدلال کرد:

x² + = x² + x + = x² +

= (x+1)x = x(x+1)

خیلی خوب توانسته بود از اتّحاد مربّع دو جمله‌ای (i) و اتّحاد حاصل ضرب عبارت‌های مزدوج (ii) کمک بگیرد. استدلالش درست بود و جای حرف نداشت. رفت و سر جایش نشست. من هم گفتم که راه حلّ خودم را می‌نویسم. ببینید:

کم‌تر کسی بود که نگاهی عادّی داشته باشد و کم کم صدایشان در آمد که «این چه‌جور اثباتی است؟»
من: استدلالم چه ایرادی دارد؟
فاطمه: چیزی که نوشته‌اید، اصلاً استدلال نیست. یک ضرب ساده است. از هیچ اتّحادی کمک نگرفته‌اید. برای چه باید قبول کنیم؟
فریبا: هیچ دلیلی نیاورده‌اید. بنده خدا پریسا، جای جای نوشته‌اش استدلال بود.
سمیّه: ببخشیدها! ولی استدلال این‌قدر بی‌مزه می‌شود؟
من: جای خوبی هستیم. هم‌اکنون و همین جا یکی از مهم‌ترین مشخّصات استدلال را یاد می‌گیرید. شش دانگ حواستان را جمع کنید. به همه‌ی شش دانگ آن نیاز دارید. فاطمه جان. لازم نیست استدلال پیچیده باشد. نباید نذر کنیم که حتماً در استدلال از اتّحادهای دیگر کمک بگیریم. سمیّه جان. بی‌مزگی استدلال را رها کن. در استدلال باید به دنبال چیز دیگری باشیم. امّا فریبا. تو درست می‌گویی. من بی‌دلیل نوشته‌ام.
ولی عدد‌های (1) و (2) و (3) را نوشتم تا دلیل برابری‌های هر حرف را جداگانه بنویسم. ببینید:

برابری (1) بنا بر خاصیّت پخشی ضرب نسبت به جمع نوشته شده است و درست است. چنان که پیش‌تر یادتان داده‌ام به ازای هر سه تا عدد حقیقی و دلخواه a و b و c داریم: ‎a(b+c) = a × b + a × c‎

برابری (2) نیز متّکی به این اصل است که حاصل ضرب هر عدد و یک برابر همان عدد است.

و بالاخره برابری (3) نیز بر اساس یک قرارداد خلاصه نویسی است که در باره‌ی توان‌ها داشتیم.

سمیّه و خیلی‌ها: واقعاً به خاطر یک خلاصه نویسی و … انتظار دارید قبول کنیم که استدلال کرده‌اید؟ به نظر ما نوشته‌های شما استدلال نیست.
من: الان که دلیل برابری (1) و (2) و (3) را نوشته‌ام، کجای حرفم را نمی‌پذیرید؟ کجای حرفم نادرست است؟
خیلی‌ها: کلّ نوشته‌تان ایراد دارد و قابل قبول نیست. جزء جزء آن درست است. ولی هر چیز درستی که استدلال نیست. نوشته‌تان حتّی قیافه‌ی استدلال را هم ندارد.
من: شما حق ندارید قیافه‌ی یک استدلال را متّهم کنید. حق ندارید چهار جمله‌ی مرا یک جا رد کنید. (گاهی این کار شدنی است و یادتان خواهم داد.) من یک جمله شامل سه برابری (1) و (2) و (3) نوشته‌ام. اگر نمی‌توانید دلیل من برای درستی (1) را رد کنید، باید آن را بپذیرید. همین‌جور برای برابری (2) و (3). اگر هیچ یک از این برابری‌ها ایرادی ندارد، حق ندارید استدلال مرا بی‌مزه و نادرست بدانید.
گرچه با بی‌مزه بودن آن مشکلی ندارم. هر چه می‌خواهید بگویید ولی استدلالم درست است و شما هم کم کم دارید پی می‌برید که درست می‌گویم.
سمیرا: ولی از دید من استدلال پریسا محکم‌تر و به‌تر است. او از اتّحادها کمک گرفت تا یک اتّحاد را ثابت کند. (همراهی بقیّه)

من: شش دانگ حواستان را برای اینجا می‌خواستم. سمیرا و دیگران. حواستان را خوب جمع کنید. شما درستی اتّحاد مربّع دو جمله‌ای و حاصل ضرب عبارت‌های مزدوج را چه گونه دریافتید؟ همین‌جور نبود؟ به کمک خاصیّت پخشی ضرب کردیم. نه؟
ساکت شدم. بچّه‌ها هم چیزی نمی‌گفتند.
من: امروز یک ویژگی مهم استدلال را آموختید. استدلال بخش‌های کوچک‌تری دارد که هر یک جداگانه قابل بررسی است. اگر بررسی کردید و همه‌ی بخش‌های کوچک‌تر یک استدلال را پذیرفتید، همه‌ی آن استدلال را باید بپذیرید. رد کردن یک استدلال سلیقه‌ای نیست. باید بتوانید سستی یکی از پایه‌های آن را با دلیل نشان دهید.
سحر: ولی باور کنید که اگر ما همین حرف‌ها را زده بودیم، شما آن را به عنوان استدلال نمی‌پذیرفتید و هزار عیب و ایراد از آن می‌گرفتید.
زنگ خورد...