داستان‌های ریاضی – استدلال 5
خب مصطفی، زنگ پیش نشد که مساله‌تان را بگویید. یعنی من اجازه ندادم. اکنون که معنای «هر» در ریاضیّات را یاد گرفته‌اید، می‌توانیم در باره‌ی مساله‌تان گفتگو کنیم. زود صورت مساله را روی تخته بنویس و بخوان تا گفتگو آغاز شود.
مصطفی: در یک مدرسه که 100 دانش‌آموز دارد، حدّاقل نفر از هر 10 دانش‌آموز در مرحله‌ی نخست آزمون انتخابی IMC 2012 شرکت کرده‌اند و از بین هر
نفری که در این آزمون شرکت کرده‌اند، حدّاقل
نفر از آن‌ها در مرحله‌ی نخست پذیرفته می‌شوند. حدّاقل چند نفر از دانش‌آموزان این مدرسه در مرحله‌ی نخست آزمون پذیرفته می‌شوند؟
الف) نفر ب)
نفر پ) 70 نفر ت) 91 نفر ث) 90 نفر
و بیش‌تر ما پاسخ را 21 نفر پیدا کرده‌ایم که اصلاً در گزینه‌ها نیست.
من: پرسش و گزینه‌های آن درست اند. همگی بار دیگر پرسش را بخوانید. چنان که گفتم معنای جدّی «هر» در ریاضیّات را به یاد بیاورید تا ببینیم چه می‌شود.
مصطفی نشست و همه خاموش بودند. بهرام پیش از همه نگاهش عوض شد. ولی من اشاره کردم که هیچ نگوید. کم کم چند نفری نگاهشان تغییر کرد و با بهرام سری تکان دادند و هم دیگر را تأیید کردند.
من: محمّد. دیدم که تو با بهرام موافق بودی. می‌توانی برای بقیّه راهنمایی بگویی؟
محمّد: هر ده نفر واقعاً یعنی هر ده نفر. ما حواسمان به این نبود.
من خاموش بودم ولی همهمه‌ای بود.
مصطفی: فهمیدم چه می‌گویید. منظورتان این است که 100 نفر دانش آموز را به 10 گروه 10 نفره تقسیم نکنیم. بلکه بسیار گروه 10 نفره در این 100 نفر هست و همه را باید در نظر بگیریم. ولی این درست نیست. این نگاهی عجیب و غریب است. چرا باید چنین کنیم؟
من: زنگ پیش گفتم که منظور ریاضی‌دانان از «هر» واقعاً «هر» است. عجیب و غریب باشد یا نباشد، همین است که هست. این نگاه ابهام و ایهام ندارد. امّا اگر بخواهید تنها 10 گروه 10 نفره از 100 نفر را بررسی کنید تازه آغاز دعوا و بگو مگو است! کدام 10 گروه؟ بگو مرتضی.
مرتضی: یعنی منظورتان این است که هر ده نفری را که در نظر بگیریم دست کم باید 7 نفر از آن‌ها در آزمون شرکت کرده باشند؟ این‌جوری که باید حتماً 97 نفر در آزمون شرکت کرده باشند!
پرویز: چه اشکالی دارد که درست مانند گفته‌ی مساله، دانش آموزان را به 10 گروه 10 نفره تقسیم کنیم و فرض کنیم که از هر گروه دست کم 7 نفر در آزمون بوده‌اند. این جوری پی می‌بریم که دست کم 70 نفر در آزمون شرکت کرده‌اند. بی‌شک درست می‌گویم.
مصطفی: الان فهمیدم. محاسبات پرویز درست نیست. پرویز 30 نفر را کنار گذاشته و می‌گوید که در آزمون شرکت نکرده‌اند. در صورتی که قرار است بین هر 10 نفر، حدّاقل 7 نفر در آزمون باشند. پرویز این موضوع را برای 30 نفر یاد شده رعایت نکرده است.
پرویز و یارانش: ما نگفتیم که 30 نفر در آزمون شرکت نکرده‌اند. از کجای حرف ما چنین برداشتی کردید؟ ما گفتیم که مطمئنّیم که نفر شرکت کرده‌اند. (نگاه با اقتدار پرویز)
من: ولی من فکر می‌کنم که پرویز و یارانش اشتباه می‌کنند. باور کنید که نمی‌خواهم آزمایشتان کنم. واقعاً اشتباه می‌کنند. و پیدا کردن اشتباهشان کمی تیزبینی می‌خواهد. باز خاموش باشید و بیندیشید. من هم راهنمایی می‌کنم. تک تک واژه‌های پرویز را به یاد بیاورید.
مهران پس از سه دقیقه: پرویز دانش‌آموزان را به 10 گروه 10 نفره تقسیم کرد و گفت که این گفته‌ی مساله است. در حای که مساله چنین چیزی نگفته است.
من: عالی است مهران. همین است. تازه پرویز گفت که در باره‌ی 70 نفر می‌داند که در آزمون بوده‌اند و در باره‌ی نفر دیگر حکمی نمی‌کند. موضوع این است که می‌توان حکم کرد. مساله «هر» گفته است. معنایش همان است که مصطفی و مرتضی گفتند. واقعاً 97 نفر در آزمون بوده‌اند و تنها 3 نفر را می‌توانیم بیرون از جلسه‌ی آزمون فرض کنیم.
مرتضی: زیرا اگر 4 نفر آزمون نداده باشند، می‌توانیم نفر دانش‌آموز دلخواه به آن‌ها اضافه کنیم تا 10 نفر بشوند. و در این 10 نفر نمی‌توان 7 نفر آزمون داده پیدا کرد.
مصطفی: عالی است. پس حتماً دست کم نفر در آزمون بوده‌اند و همین استدلال را می‌توانیم برای قبولی‌ها نیز به کار ببریم.
من: درست است. امّا پرویز، تو این استدلال را بین 97 نفر سامان بده ببینم چه می‌کنی؟ قبولی‌ها را پیدا کن.
پرویز: من هنوز قبول ندارم. امّا شما فکر می‌کنید که چون بین هر 10 نفر باید دست کم 3 نفر قبول بشوند، قبول نشده‌ها 7 نفر بیش‌تر نیستند.
با اشاره‌ی من محمّد ادامه داد: از بین 97 نفر آزمون داده، اگر فرض کنیم 8 نفر باشند که قبول نشده باشند، همه چیز به هم می‌ریزد.
پرویز با اشاره‌ی من: منظورش این است که اگر نفر قبول نشده داشته باشیم، با اضافه کردن 2 نفر دلخواه به آن‌ها 10 نفر خواهیم داشت که در 8 نفرشان در آزمون رد شده‌اند. در حالی که مساله گفته از بین هر 10 نفر شرکت کننده مدرسه در آزمون، دست کم 3 نفر پذیرفته می‌شوند.
یعنی حداکثر نفرشان قبول نمی‌شوند. پس نمی‌توانیم فرض کنیم در کل 8 نفر پذیرفته نشده باشند.
من: بله، کار پایان یافته. همین جور که محمد گفت از نفری که در آزمون شرکت کرده‌اند، دست کم باید 90 نفر در آزمون پذیرفته شده باشند.
محمد: اما دو چیز با عقل جور درنمی‌آید:
1) یک پرسش چند گزینه‌ای و این همه دنگ و فنگ؟
2) اگر معنای "هر" چنین باشد که گفتید، خب این موضوع بسیار مهمی است. چرا در کتاب‌های درسی هیچ اشاره‌ای به آن نشده است؟
من: این پرسش چند گزینه‌ای، برای همه دنگ و فنگ ندارد. ما با زبان ریاضی آشنا نبودیم که این همه گفت و شنود داشتیم. کسی که انتظار قبولی در چنین آزمونی دارد، نباید در آزمون با چنین چالشی روبرو شود. باید از پیش آماده باشد.
اما از طرف کتاب درسی از شما پوزش می‌خواهم. راست گفتید. نباید چنین چیز مهمی را فراموش می‌کردند. قطعا یک دلیل این فراموشی مشورت نکردن با من است. (خنده‌ی بچه‌ها)
اما موضوع از این هم مهم‌تر است. تغییر طرز فکرتان تازه شروع شده است. نترسید. ولی منظور ریاضی‌دان‌ها از "یا"، "و"، "اگر" و خیلی واژه‌های دیگر، با پندار کنونی شما یکی نیست. باید بشنوید و کم‌کم به آن عادت کنید.
کسانی که می‌خواهند با شتاب بیش‌تری یاد بگیرند می‌توانند مقاله‌های زیر را که نشانی می‌دهم بخوانند. خانم خسروشاهی چند مقاله در مجله‌ی دانش‌آموزی برهان در همین باره نوشته‌اند که بسیار مفیداند:
کانال تارنمای قدم در
تگرام
@ghadamcom