شماره‌های کفش‌داری

حمید و آرش دم کفش‌داری، کفش‌های خود را دادند و تا شماره گرفتند و برای زیارت وارد حرم شدند.
حمید هر شماره را در جیب خود گذاشت و هیچ کدام دقت نکردند که کدام شماره برای کدام کفش است.
پس از زیارت حمید خواست که برگردد، ولی آرش می‌خواست نمازش را در حرم بخواند. پس گفت که با حمید به کفش‌داری می‌آید تا شماره‌ی کفش خود را بگیرد و برگردد.
اما حمید گفت که لازم نیست با من بیایی. من نقشه‌ی به‌تر و کم‌خرج‌تری دارم.

حمید چه در سر داشت؟

راه حل

حمید و آرش می‌توانند یکی از کارهای زیرا را انجام دهند:

• الف. هر دو به کفش‌داری بروند.
• ب. حمید با دو شماره به کفش‌داری برود.
• پ. حمید با یک شماره (تصادفی) به کفشداری برود.

الف. این راه بد است. اگر فاصله‌ی کفش‌داری تا جایی که حمید و آرش هستند را بگیریم. در این روش حتما توسط نفر پیموده خواهد شد. یک بار توسط حمید و دو بار توسط آرش.

ب. این راه هم خوب نیست. در این روش هم حمید یک بار طول را می‌پیماید تا به کفش‌داری برسد و بتواند شماره‌ها را مشخص کند. سپس باید برگردد و شماره‌ی کفش آرش را به او بدهد و دوباره به کفش‌داری برگردد و کفش خود را بگیرد و برود.

پ. این به‌ترین کار است. اگر شماره‌ای که حمید برداشته است، درست باشد (به احتمال ) او با یک بار پیمودن d کفش خود را خواهد گرفت و نیازی نیست که دوباره پیش آرش برگردد.
و اگر شماره‌ای که حمید برداشته درست نباشد (به احتمال ) هنگامی که پس از پیمودن d به کفش‌داری رسید، به نادرستی شماره پی خواهد برد. او باید پیش آرش برگردد و شماره‌ی خودش را بگیرد و به کفش‌داری برود. یعنی باید بار فاصله‌ی d را بپیماید.

هنگامی که حمید به تصادف یکی از شماره‌ها را می‌برد، به احتمال شماره‌ی درست و به احتمال شماره‌ی نادرست را می‌برد. پس به احتمال مسافت d و به احتمال مسافت ‎3d‎ را خواهد پیمود.

نترسید! در این جا ریاضی‌دان‌ها چیزهایی می‌گویند که کم و بیش تعبیر آن چنین است:
انتظار داریم مسافتی که حمید می‌پیماید برابر باشد.

اگر از دید شما این تعبیر ریاضی‌دان‌ها عجیب و غریب است، به سراغ دید آماری بروید. فکر کنید 1000 آزمایش شبیه همین داستان حمید و آرش را یک‌جا داریم. یعنی هم‌زمان، 999 تا حمید و آرش دیگر در حرم نشسته‌اند و همه‌ی حمیدها، مانند همین حمید ما یک شماره‌ی تصادفی برمی‌دارند و به کفش‌داری می‌روند. راستی فاصله‌ی همه‌ی حمیدها از کفش‌داری همان d است.
اکنون شما انتظار دارید که میانگین مسافت پیموده شده توسط این 1000 حمید چه‌قدر باشد؟