شمار گندم‌ها

مخالف‌ها بیش‌تر بودند. یکی از همکارها گفت: پرسش خوبی نیست. هیچ کس نخواهد توانست حل کند و سرخورده می‌شوند.
گفتم: کاش وقتی سالم بود، این پرسش را به من می‌دادند و من فکر می‌کردم و نمی‌توانستم آن را حل کنم. کاش فقط می‌دیدم.
خلاصه از آن جا که پرسش آزمون و تکلیف نبود و در ساعت غیر درسی انجام می‌شد،‌ زورم چربید و صبح یک پنج‌شنبه که بچه‌ها به مدرسه آمده بودند، هفتم‌ها را جمع کردیم.

گوش کنید. درون این سطل در بسته‌ی بزرگ یک کیسه گندم است. نشانتان نمی‌دهیم. نزدیک آن هم نشوید. به هر گروه تا لیوان یک بار مصرف داده‌ایم. می‌توانید بیایید و متری سطل بایستید تا یک، ، یا 4 تا لیوانتان را از گندم‌های کیسه پر کنیم.
بروید و بررسی کنید. دقیقه وقت دارید تا بگویید درون کیسه چند تا گندم هست.

• لیوان بیش‌تر پر نمی‌کنیم. اگر خواستید هر 4 تا را یک جا ببرید، یا با فاصله‌ی زمانی.
• اگر بخواهید هر تغییری در کیسه گندم‌ها می‌دهیم (بپزیم، آرد کنیم، ...) جز آن که گندم را پیمانه کنیم یا وزن کنیم.
• تغییرات را هم شما نباید ببینید.
• هر ابزار دم دستی هم بخواهید، در اختیارتان می‌گذاریم. موشکِ ضد تانک نخواهید. چیزهایی بخواهید که از فروشگاه کنار مدرسه بتوانیم تهیه کنیم. به امید ابزار عجیب و غریب نباشید. قوی‌ترین ابزار اندیشه‌ی شما است. کم‌تر فروشگاه را بجویید. بیش‌تر اندیشه‌تان را بکاوید.

فکر کنید. شدنی است. اگر پس از دقیقه نتوانستید، راهنمایی می‌گوییم. پس از راهنمایی، دقیقه‌ی دیگر وقت خواهید داشت.

پس از دقیقه این راهنمایی را به گروه‌ها گفتیم:
به کمک برخی از این ابزارها می توانید گره را بگشایید و شمار گندم‌های کیسه را پیدا کنید:
سبد پلاستیکی، چسب نواری، ترازوی شاهینی، قیچی، جوهر.

دقت کنید باید شمار گندم‌ها را تخمین بزنید. نه این که تعداد دقیق را حساب کنید.

پاسخ مساله

شمارش گندم‌ها اگر چه پیچیده به نظر می‌آید، ولی خیلی سرراست و ساده انجام می‌شود.
باید لیوان گندم بگیرید و آن‌ها را نشان‌دار کنید. جوهر ابزار خوبی برای این کار است.
گندم‌های لیوان را بشمارید و رنگ کنید. سپس گندم‌های رنگ شده را بدهید تا با گندم‌های درون کیسه خوب به هم بزنند و پخش کنند. (شرط شده بود که هر تغییری در کیسه‌ی گندم مجاز است. تنها شرط این بود که به دور از چشمان شما این کار را می‌کنند. حتی گفته بودند اگر طرحتان منطقی باشد، حاضراند گندم‌ها را بپزند!)
سپس دوباره لیوان دیگر از گندم‌های مخلوط بگیرید. این بار گندم‌های رنگی و گندم‌های رنگ نشده را جدا کنید و هر یک را بشمارید.

فرض کنید چنین نتیجه‌هایی به دست آید:
شمار گندم‌های لیوان (رنگ شده‌ها): تا
شمار گندم‌های رنگ شده در دو لیوان گندم مخلوط: تا
شمار گندم‌های رنگ نشده در دو لیوان گندم مخلوط: 2473 تا

پس نسبت گندم‌های رنگ شده به کل گندم‌های مخلوط در دو لیوان دوم، چنین عددی است:

با تقریب خوبی می‌توانیم فرض کنیم که این نسبت در سراسر کیسه برقرار است. زیرا گندم‌ها خوب مخلوط شده‌اند و گندم‌های رنگی در همه‌ی کیسه یک‌سان پراکنده شده‌اند.
از طرفی شمار همه‌ی گندم‌های رنگی برابر 2538 تا است. پس داریم:

شمار گندم‌های رنگی ‎/‎ شمار همه‌ی گندم‌های کیسه ‎=

=> 301418

یعنی کیسه‌ای که شما ندیده‌اید، باید حدود 301418 دانه‌ی گندم داشته باشد.
با چنین روشی چیزهای زیادی را می‌توان شمرد.

پیشنهاد می‌کنیم نوشته‌ی زیر را از مجله‌ی برهان درباره‌ی شمردن ماهی‌های دریاچه بخوانید:
مجله برهان راهنمایی، دوره‌ی هفدهم، شماره‌ی 2، زمستان 1390، صفحه 18