طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع (راه 2)

مانند شکل نقطه‌های $P$ و Q چنان در مثلث متساوی‌الاضلاع ABC جای گرفته‌اند که
‎AP = AQ = $2\sqrt{7}$ ‎ و ‎BP = CQ = 4‎ و ‎PQ = $2$ ‎ است.
طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع چه‌قدر است؟

می‌خواهم راهنمایی را ببینم.

طول ارتفاع وارد بر قاعده‌ در مثلث متساوی‌الساقین APQ را محاسبه کنید. و سپس $PQ$ را امتداد دهید تا AB و AC را قطع کند.
توجه کنید که ارتفاع یاد شده، نیمساز زاویه‌ی BAC نیز هست.

می‌خواهم پاسخ را ببینم.

ار هم‌نهشتی مثلث‌های ABP و ACQ می‌توان نشان داد که نیمساز (یا همان ارتفاع) مثلث APQ نیمساز زاویه‌ی $BAC$ نیز هست.

وسط PQ را $H$ می‌گیریم. با کمک قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث AHQ داریم:

ΔAHQ : AH ┴ PQ => AQ² = AH² + HQ²

AH² = 28 - $1$ = 27 (i)

اکنون برخورد امتداد PQ با AB را به ترتیب $D$ و E می‌نامیم.
روشن است که ‎∠HAE = 30˚‎ است. پس بنا بر قضیه‌ای داریم: ‎AE = $2$ HE‎
بنا بر قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث AHE داریم:

ΔAHE : ∠AHE = 90˚ => AH² + HE² = AE² $\qquad\longrightar[40] \limits^{i}\qquad$ 27 + HE² = 4 HE²

=> 27 = 3 HE² => HE = 3 , HQ = $1$ => QE = 2 (ii)

اکنون تصویر Q بر AC را K می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویه‌ی QKE اندازه‌ی زاویه‌ی EQK برابر 30 درجه است. و بنا بر قضیه‌ای داریم:

EK = ${{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}}\bar{QE}\hspace{3}= \limits^{ii}\hspace{3}1$

بنا بر قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث‌های QKE و KQC داریم:

ΔQKE : ∠QKE = 90˚ => QE² = QK² + KE² => QK² = 4 - $1$ = 3 (iii)

ΔKQC : ∠QKC = 90˚ => QC² = QK² + KC² $\qquad\longrightar[40] \limits^{iii}\qquad$ KC² = 16 - $3$ = 13 => KC = √13

$\left. \bar{KC}=\sqrt{13}\\\bar{AE}=\bar{DE}=2\bar{HE}=6\\\bar{EK}=1 \right\}$ => AC = AE + KC - KE = 6 + √13 - 1

=> AC = 5 + √13

درس:

هشتم- رياضي- فصل6- مثلث

طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع (راه 2)

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع (راه 2)

نمونه تمرين پويا

پیمایش