مساله‌های هندسه - سطح۲ - سری۱

نقطه‌های K و N به ترتیب بر ضلع‌های AB و AD از مربع ABCD جای دارند. برخوردهای قطر BD با CK و CN را به ترتیب نقطه‌های L و M می‌نامیم. اگر حاصل ضرب طول‌های AK و AN دو برابر حاصل ضرب طول‌های BK و DN باشد، ثابت کنید نقطه‌های A و N و M و L و K همگی روز یک دایره هستند.

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

ثابت کنید NL بر KC و KM بر NC عمود است.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

از تفاضل مربع‌ها کمک بگیرید. بنا بر قضیه‌ای اگر تفاضل مربع‌های فاصله‌های نقطه‌ی P از A و B، دو راس پاره خط AB برابر باشد با تفاضل مربع‌های فاصله‌های نقطه‌ی Q از A و B آن گاه خط PQ بر AB عمود است.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. تفاضل مربع‌ها را برحسب این مقدارها محاسبه کنید.

راه۲ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از قوت نقطه کمک بگیرید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

اگر ثابت کنید BK.BA=BL.BM بنا بر قضیه‌ای نقطه‌های A و K و L و M روی یک دایره خواهند بود.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. حاصل ضرب‌ها را برحسب این مقدارها محاسبه کنید.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

مقدارهای BL/BD و BM/BD را محاسبه کنید.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

باید ثابت کنید (a+y)(a+x) دو برابر مساحت مربع است.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

باید ثابت کنید (a+y)(a+x) دو برابر مساحت مربع است. این کار به کمک فرض و محاسبه‌های جبری شدنی است.

راه۳ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از قوت نقطه کمک بگیرید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

اگر ثابت کنید BK.BA=BL.BM بنا بر قضیه‌ای نقطه‌های A و K و L و M روی یک دایره خواهند بود.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. حاصل ضرب‌ها را برحسب این مقدارها محاسبه کنید.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

مقدارهای BL/BD و BM/BD را محاسبه کنید.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

باید ثابت کنید (a+y)(a+x) دو برابر مساحت مربع است.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

باید ثابت کنید (a+y)(a+x) دو برابر مساحت مربع است. در شکل زیر این موضوع روشن است.

راه۴ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. در راه۲ و راه۳ به دو روش توانستید ثابت کنید (a+y)(a+x) دو برابر مساحت مثلث است. ببینید از این موضوع چه کمکی می‌توانید بگیرید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

نقطه‌های S و T را بر امتداد AB چنان بگیرید که BS هم اندازه‌ی BK و BT هم اندازه‌ی DN باشد.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

در واقع شما می‌دانید که حاصل ضرب اندازه‌های AS و AT برابر مربع اندازه‌ی AC است!

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

ثابت کنید چهارضلعی BCMK محاطی است.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

زاویه‌ی CKM اندازه‌ای برابر ۴۵ درجه دارد. چنین چیزی را برای زاویه‌ی MNL نیز ثابت کنید.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

ثابت کنید اندازه‌ی زاویه‌های MCL و MAL نیز ۴۵ درجه است.

راه۵ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. برخورد NL و BC را p بنامید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

ثابت کنید KP و NC با هم موازی هستند.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

توازی KB و CD و هم چنین توازی BP و ND کمکتان می‌کند.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

تصویر N بر BC را Q بنامید و ثابت کنید PQ با KB هم اندازه است.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

انجام این کار به کمک محاسبات شدنی است. شاید بد نباشد که توجه کنید (a+x)(a-y)=2ax
از طرفی این تساوی بدون محاسبات و به کمک مساحت هم به دست می‌آید. پیش‌تر در راه۳ کار مشابهی انجام دادید. این جا هم شدنی است.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

یک مثلث هم‌نهشت با KBC پیدا کنید و ثابت کنید زاویه‌ی KLN قائمه است.

راه۶ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از N عمودی بر BC بکشید و برخورد آن با BD و BC را به ترتیب P و Q بنامید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

ثابت کنید L وسط BP است.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

به این منظور ثابت کنید 2ax=(a+x)(a-y)
این تساوی بدون محاسبات و به کمک مساحت هم به دست می‌آید. پیش‌تر در راه۳ کار مشابهی انجام دادید. این جا هم شدنی است.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

ثابت کنید LN و LC هم اندازه هستند.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

ثابت کنید دو زاویه‌ی LCM و LNM هم اندازه هستند.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

زاویه‌های دیگری هم اندازه با LCM پیدا کنید.

راه۷ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

دنبال مثلثی متشابه با ACN بگردید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

ثابت کنید مثلث‌های MBK و ACN متشابه هستند.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

این دو مثلث زاویه‌های ۴۵ درجه دارند پس سراغ برابری نسبت طول ضلع‌ها بروید.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. از فرض دارید:

(a-x)/x=2y/(a-y) => a/(a+y)=x/(a-y)

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

به کمک تشابهی که ثابت کردید، نتیجه بگیرید که MK به NC عمود است.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

تعامدهای دیگری پیدا کنید و چهارضلعی محاطی را ببنید.

راه۸ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. از N عمودی بر BC بکشید و برخورد آن با BD را X بنامید. تصویر K بر CD را I بنامید و برخورد XI با AB را Y بنامید و بالاخره برخورد NL با AB را Z بنامید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

خط BY با DI موازی است. نسبت‌ها را در مثلث DIX بنویسید.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

از فرض کمک بگیرید و ثابت کنید KB و KY هم اندازه هستند.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

ثابت کنید L وسط BX است.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

ثابت کنید L وسط NZ است.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

ثابت کنید CL به NL عمود است.

راهنمایی ۷ (کلیک کنید)

تعامد NM و KM به چند روش قابل اثبات است.

راه۹ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

روشی مثلثاتی پیش بگیرید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

طول ضلع مربع را a، طول BK را x و طول DN را y بگیرید. تلاش کنید مجموع اندازه‌های دو زاویه‌ی KCB و NCD را پیدا کنید.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

از دستور محاسبه‌ی تانژانت مجموع دو کمان کمک بگیرید.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

اندازه‌ی تانژانت مجموع دو زاویه‌ی گفته شده باید برابر با a(x+y)/(a.a-xy) بشود.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

از فرض کمک بگیرید و ثابت کنید این مقدار برابر با یک است.

راهنمایی ۶ (کلیک کنید)

چهارضلعی محاطی ببینید.

راهنمایی ۷ (کلیک کنید)

قابت کنید چهارضلعی MKBC محاطی است.

راهنمایی ۸ (کلیک کنید)

اندازه‌ی زاویه‌های MKC و KMC را پیدا کنید.

نمونه تمرين پويا

مساله‌های هندسه - سطح۲ - سری۱

پیمایش

ورود کاربر

نمونه تمرين پويا

مساله‌های هندسه - سطح۲ - سری۱

پیمایش