پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۱ - سری۴

۱- چهار نامه‌ی نامدار و چهار پاکت نامدار (همان نام‌ها) داریم. به چند روش می‌توان نامه‌ها را در پاکت‌ها گذاشت، جوری که هیچ نامه‌ای در پاکت خود نباشد؟

۲- پرسش پیشین را برای n نامه و n پاکت حل کنید. مهم است. حالت کلی را باید بلد باشید.
۳- اگر dn تعداد جایگشت‌هایی از a1, a2, a3, ..., an باشد که هیچ نقطه‌ی ثابتی نداشته باشند، (یعنی هیچ k وجود نداشته باشد که ak در جایگاه k باشد.) یک رابطه‌ی بازگشتی برای محاسبه‌ی dn پیدا کنید.
۴- اگر dn تعداد جایگشت‌هایی از a1, a2, a3, ..., an باشد که هیچ نقطه‌ی ثابتی نداشته باشند، (یعنی هیچ k وجود نداشته باشد که ak در جایگاه k باشد.) یک رابطه‌ی صریح برای محاسبه‌ی dn پیدا کنید.
۵- اگر dn تعداد جایگشت‌هایی از a1, a2, a3, ..., an باشد که هیچ نقطه‌ی ثابتی نداشته باشند، (یعنی هیچ k وجود نداشته باشد که ak در جایگاه k باشد.) تعداد همه‌ی جایگشت‌های این n شیء را بر حسب d0 و d1 و ... dn پیدا کنید.
۶- اگر dn تعداد جایگشت‌هایی از a1, a2, a3, ..., an باشد که هیچ نقطه‌ی ثابتی نداشته باشند، (یعنی هیچ k وجود نداشته باشد که ak در جایگاه k باشد.) ثابت کنید dn زوج است اگر و تنها اگر n فرد باشد.
۷- اگر dn تعداد جایگشت‌هایی از a1, a2, a3, ..., an باشد که هیچ نقطه‌ی ثابتی نداشته باشند، (یعنی هیچ k وجود نداشته باشد که ak در جایگاه k باشد.) ثابت کنید اختلاف dn و تعداد جایگشت‌هایی که درست یک نقطه‌ی ثابت دارند، برابر با ۱ است.
۷- تعداد پاسخ‌های صحیح و نامنفی معادله‌ی a1 + a2 + a3 = 14 را چنان بیابید که a1≤ 4 و a2 ≤6 و a3≤7 باشد.