پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۲ - سری۴

۱- در صفحه‌ی مختصات تنها مجاز هستیم در راستای افقی به سمت مثبت و در راستای عمودی نیز به سمت مثبت حرکت کنیم. یعنی از نقطه‌ی (a,b) تنها می‌توانیم به نقطه‌ی (a+1,b) یا (a,b+1) برویم. در این صورت به چند روش می‌توانیم از نقطه‌ی (0,0) به نقطه‌ی (p,q) برویم؟

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

بررسی کنید و ببینید چه‌ حرکت‌هایی باید انجام بدهیم.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

باید حتما p حرکت افقی داشته باشیم

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

باید حتما q حرکت عمودی داشته باشیم.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

پاسخ $\fs4 {\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q \\ p \end{array}\right)}$ است.

۲- در صفحه‌ی مختصات با شرط ‌های پرسش۱ می‌خواهیم از نقطه‌ی (0,0) به نقطه‌ی (p,q) برویم و حتما می‌خواهیم از نقطه‌ی (e,f) نیز عبور کنیم. به چند روش این کار شدنی است؟

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از اصل ضرب کمک بگیرید.

۳- در صفحه‌ی مختصات با شرط ‌های پرسش۱ می‌خواهیم از نقطه‌ی (0,0) به نقطه‌ی (p,q) برویم و حتما می‌خواهیم از پاره خط AB عبور کنیم که (e,f) مختصات نقطه‌ی A و (e,f+1) مختصات نقطه‌ی B است. به چند روش این کار شدنی است؟

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از اصل ضرب کمک بگیرید.

۴- ثابت کنید

$\fs4 {\left(\large\begin{array} {GC+18} p \\ 0 \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} q \\ r \end{array}\right)} + \hspace{1}{\left(\large\begin{array} {GC+18} p \\ 1 \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} q \\ r-1 \end{array}\right)} + \hspace{1} ... + \hspace{1}{\left(\large\begin{array} {GC+18} p \\ r \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} q \\ 0 \end{array}\right)} \hspace{1}= \hspace{1} {\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q \\ r \end{array}\right)}$

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

تعداد p+q نفر تصور کنید و فرض کنید می‌خواهید از بین آن‌ها r نفر انتخاب کنید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

فرض کنید p نفر از این افراد دانش‌آموز هستند و بقیه آموزگار هستند.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

ببینید چند نفر از انتخاب شده‌ها دانش‌آموز و چند نفرشان دبیر هستند.

راه۲ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از پرسش۱ کمک بگیرید. یعنی هر یک از انتخاب‌ها را تعداد روش‌های حرکت در صفحه‌ی مختصات در نظر بگیرید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

از پرسش۲ کمک بگیرید. در این پرسش اصل ضرب به کار رفته است. در پرسش ما هم باید بارها اصل ضرب را به کار ببریم.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

شاید بد نباشد که به جای پارامترها عددهایی بگذارید و نقطه‌هایی که باید از آن‌ها بگذرید را پیدا کنید.

۵- ثابت کنید

$\fs4 {\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q \\ q \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} r \\ r \end{array}\right)} + \hspace{1}{\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q-1 \\ q \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} r+1 \\ r \end{array}\right)} + \hspace{1} ... + \hspace{1}{\left(\large\begin{array} {GC+18} q \\ q \end{array}\right)}{\left(\large\begin{array} {GC+18} r+p \\ r \end{array}\right)} \hspace{1}=\\ \hspace{1} {\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q+r+1 \\ q+r+1 \end{array}\right)} \hspace{1}= \hspace{1} {\left(\large\begin{array} {GC+18} p+q+r+1 \\ p \end{array}\right)}$

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

از پرسش۲ کمک بگیرید. در این پرسش اصل ضرب به کار رفته است. در پرسش ما هم باید بارها اصل ضرب را به کار ببریم.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

شاید بد نباشد که به جای پارامترها عددهایی بگذارید و نقطه‌هایی که باید از آن‌ها بگذرید را پیدا کنید.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

گویی دو شبکه به هم چسبیده‌اند. عرض یکی از آن‌ها q است و هیچ گاه تغییر نمی‌کند، بلکه طول آن تغییر می‌کند و عرض شبکه‌ی دوم نیز r است و هیچ گاه تغییر نمی‌کند، بلکه طول آن تغییر می‌کند.

۶- تعداد 2n نقطه‌ی A₁ و A₂ و ... و A_2n روی خط k جای دارند. هر یک از این نقطه‌ها را می‌خواهیم با یکی از رنگ‌های آبی یا قرمز رنگ کنیم. برای رنگ آمیزی چنین روشی پیش می‌گیریم که n دایره می‌کشیم که هیچ دو تای آن‌ها با یکدیگر برخورد نکنند و برخورد این دایره‌ها با k قطر این دایره‌ها باشد که راس‌ آن‌ها از همین 2n نقطه باشد و هر یک از نقطه‌های A₁ و A₂ و ... و A_n تنها روی یکی از این دایره‌ها باشد. سپس جوری رنگ آمیزی می‌کنیم که نقطه‌های هر دایره همرنگ باشند. این جور رنگ آمیزی به چند روش شدنی است؟

راه۱ (کلیک کنید)

راهنمایی ۱ (کلیک کنید)

حتما مثال کوچک بزنید و رنگ آمیزی را حس کنید.

راهنمایی ۲ (کلیک کنید)

به شماره‌ی نقطه‌های همرنگ دقت کنید.

راهنمایی ۳ (کلیک کنید)

ثابت کنید در هر رنگ آمیزی مجاز تعداد نقطه‌های فرد قرمز رنگ با تعداد نقطه‌های زوج قرمز رنگ برابر است.

راهنمایی ۴ (کلیک کنید)

ثابت کنید که هر رنگ آمیزی که در آن تعداد نقطه‌های فرد قرمز رنگ با تعداد نقطه‌های زوج قرمز رنگ برابر باشد، یک رنگ آمیزی مجاز است.

راهنمایی ۵ (کلیک کنید)

از استقرا کمک بگیرید.

نمونه تمرين پويا

پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۲ - سری۴

پیمایش

ورود کاربر

نمونه تمرين پويا

پرسش‌های ترکیبیات، شمارش سطح۲ - سری۴

پیمایش