چاله‌های ریاضی- کمينه‌ی مجموع دو مربع

صورت مساله
اگر دو عدد حقیقی a و b، همواره در برابری ‎ $3$ a + 4 b = $12$ ‎ سازگار باشند، مقدار کمینه‌ی ‎a² + b²‎ را بیابید.

پیش از این، در این جا به این مساله پرداختیم و 4 روش مختلف برای حلّ آن آوردیم.
اگر آن راه‌ها را ندیده‌اید، به‌تر است قبل از خواندن ادامه‌ی مطلب، درباره‌ی این مساله فکر کنید و نگاهی به راه حل‌ها بیاندازید.

در هر چهار روش یاد شده، زمینه‌هایی برای خطاهای بنیادی هست. از این رو گاهی دانش‌آموزان با پیگیری همین روش‌ها به پاسخ‌هایی باورنکردنی می‌رسند. ببینید.

یک نمونه راه حل نادرست برای این مساله:

روزی دانش‌آموزی که دستی در مطالعه و المپیاد ریاضی داشت برای همین مساله راهی چنین پیشنهاد داد:

می‌دانیم برای هر دو عد حقیقی و مثبت a و $b$ نابرابری‌های زیر درست‌اند:

$\sqrt{{{\hspace{2}a^2+b^2\hspace{2}}\over{2}}}\geq {{\hspace{2}a+b\hspace{2}}\over{2}} \geq \sqrt{ab} \geq \fs3 {{\hspace{2}2\hspace{2}}\over{{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{a}}+{\frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{b}}}}$ نابرابری واسطه‌ها

به سراغ نامساوی نخست می‌رویم و می‌دانیم که برابری برقرار است اگر و تنها اگر ‎a=b‎ باشد. پس داریم:

$\sqrt{{{\hspace{2}a^2+b^2\hspace{2}}\over{2}}}\geq {{\hspace{2}a+b\hspace{2}}\over{2}} \to a^2+b^2 \geq ({{\hspace{2}a+b\hspace{2}}\over{2}})^2 \times 2 = {{\hspace{2}(a+b)^2\hspace{2}}\over{2}}$

یعنی کمینه‌ی عبارت ‎a² + b²‎ برابر است با ${{\hspace{2}(a+b)^2\hspace{2}}\over{2}}$ و این رخداد در ‎a=b‎ پیش می‌آید. پس:

3 a + 4 b = 12 -> 3 a + 4 $a$ = 12 -> a = b = ${{\hspace{2}12\hspace{2}}\over{7}}$
min {a² + b²} = ${{\hspace{2}(a+b)^2\hspace{2}}\over{2}}={\fs3 {{\hspace{2}({{\hspace{2}24\hspace{2}}\over{7}})^2\hspace{2}}\over{2}}}\simeq 5.88$

از شما چه پنهان این دانش‌آموز پذیرفت که مقدار کمینه کم‌تر از 5.88 است. ولی به پرتگاه دوم افتاد.
او دلیل نادرستی و ناکامی بودن استدلال خود را (که استدلالی شایع است.) ندید و گناه را به گردن نابرابری‌های واسطه انداخت.

اکنون نوبت شما است. علت ناکامی استدلال او را حلاجی کنید. اگر چاله‌ای را خوب نشناسیم، بارها گرفتار آن خواهیم شد. به ویژه اگر به تشخیص خود شک دارید برای ما بفرستید. به زودی با یاری شما استدلال بالا و استدلال‌های نادرست مشابه را موشکافی خواهیم کرد.

پس حداکثر تا یک هفته‌ی دیگر (تا 17 دی 94)، این دو مورد را برای ما بفرستید:

علت نادرستی استدلال بالا
استدلال‌های مشکوک یا نادرست دیگری که برای این مساله می‌شناسید

اگر بخواهید می‌توانید فایل پی دی اف متن سوال و راه حل نادرست را از این جا بردارید و پرینت آن را به دیوار مدرسه بزنید و از پاسخ‌های نادرست دانش‌آموزان را برای ما بفرستید.

راه‌های ارسال استدلال‌های نادرست این مساله برای ما:

ارسال نامه الکترونیک به این نشانی: $info@ghadam.com$
ارسال تلگرام به این نشانی: ‎@ghadam_edu‎

درس:

دهم- ریاضی- فصل3- معادلات و نامعادلات

نهم- ریاضی- فصل5- عبارت‌های جبری

چاله‌های ریاضی- کمينه‌ی مجموع دو مربع

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

چاله‌های ریاضی- کمينه‌ی مجموع دو مربع

نمونه تمرين پويا

پیمایش