کمینه مساحت چهارضلعی

پرسشی از آزمون پیشرفت تحصیلی سمپاد 1394

در چهارضلعی $ABCD$ نقطه‌ی O محل برخورد قطرها است. مساحت مثلث‌های ABO و $DCO$ به ترتیب برابر $8$ و 18 است.
کم‌ترین مساحت ممکن برای این چهارضلعی چه‌قدر است؟

می‌خواهم راهنمایی را ببینم.

کم‌تر از هندسه و بیش‌تر از نابرابری‌های جبری کمک بگیرید.
نسبت ${{\hspace{2}\bar{OC}\hspace{2}}\over{\bar{OA}}}$ را برابر t بگیرید.

می‌خواهم پاسخ را ببینم.

گیریم که ${{\hspace{2}\bar{OC}\hspace{2}}\over{\bar{OA}}}=t$ باشد، پس داریم:

${{\hspace{2}S_{\Delta BCO}\hspace{2}}\over{S_{\Delta ABO}}} ={{\hspace{2}\bar{OC}\hspace{2}}\over{\bar{OA}}}=t$ -> S_ΔBCO = 8 t

${{\hspace{2}S_{\Delta DAO}\hspace{2}}\over{S_{\Delta CDO}}} ={{\hspace{2}\bar{OA}\hspace{2}}\over{\bar{OC}}}={{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{t}}$ -> S_ΔDAO = ${{\hspace{2}18\hspace{2}}\over{t}}$

S_ABCD = 8 + 18 + 8 t + ${{\hspace{2}18\hspace{2}}\over{t}}$ = 26 + 8 t + ${{\hspace{2}18\hspace{2}}\over{t}}$

a > 0 , b > 0 : a + b ≥ 2 $\sqrt{ab}$

-> S_ABCD ≥ 26 + 2 $\sqrt{8t\times {{\hspace{2}18\hspace{2}}\over{t}}}$ = 26 + 24 = 50

به کمک نابرابری کوشی نیز می‌توان این پرسش را حل کرد.

درس:

نهم- ریاضی- فصل8- حجم و مساحت

دهم- رياضي1

کپی‌رایت © 1397. تمامی حقوق محفوظ است.
بازنشر متن و راهنمایی‌های تمرین‌های پویا و مطالب آموزشی سایت در هر نشریه‌ی کاغذی یا رسانه‌ی الکترونیکی دیگر ممنوع است.
استفاده از مطالب دیگر سایت، با ذکر منبع بلامانع است.

«تمامی كالاها و خدمات این فروشگاه، حسب مورد دارای مجوزهای لازم از مراجع مربوطه می‌باشند و فعالیت‌های این سایت تابع قوانین و مقررات جمهوری اسلامی ایران است.»

کمینه مساحت چهارضلعی

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

کمینه مساحت چهارضلعی

نمونه تمرين پويا

پیمایش