نابرابری 1

اگر a و b و c عددهایی حقیقی و نامنفی باشند، ثابت کنید:

$\fs3{{{\hspace{2}a\hspace{2}}\over{b+c}}+{{\hspace{2}b\hspace{2}}\over{c+a}}+{{\hspace{2}c\hspace{2}}\over{a+b}}}\geq {{\hspace{2}3\hspace{2}}\over{2}}$

حل:

هیچ دوتایی از عددهای a و b و c نمی‌توانند با هم صفر باشند (چرا؟) و اگر یکی از آن‌ها به تنهایی برابر با صفر باشد، اثبات نابرابری بسیار ساده خواهد بود. بنابراین از این پس می‌توانیم همه‌ی a و b و c را مثبت بگیریم.

می‌دانیم به ازای هر دو عدد حقیقی مثبت x و $y$ داریم: $\fs3{{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{x}}}\geq 2\qquad i$

گیریم که ‎x=b+c‎ و ‎ $y$ =c+a‎ و ‎z=a+b‎ باشد. (پس x و $y$ و z نیز همگی مثبت‌اند.)

x + y + z = 2a + 2b + 2c

$k=\fs3{{{\hspace{2}a\hspace{2}}\over{b+c}}+{{\hspace{2}b\hspace{2}}\over{c+a}}+{{\hspace{2}c\hspace{2}}\over{a+b}}={{\hspace{2}{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{2}} -x\hspace{2}}\over{x}}+{{\hspace{2}{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{2}} -y\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{2}} +{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{2}} -z\hspace{2}}\over{z}}}$

$={{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}}({{\hspace{2}y+z-x\hspace{2}}\over{x}}+{{\hspace{2}x-y+z\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}x+y-z\hspace{2}}\over{z}})=$

$=\fs3{{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}} ({{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{x}}+{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{x}}-1+{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{y}}-1+{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{z}}+{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{z}}-1)}$

$={{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}}({{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{x}}+{{\hspace{2}y\hspace{2}}\over{z}}+{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{y}}+{{\hspace{2}z\hspace{2}}\over{x}}+{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{z}}-3)$

$\qquad\longrightar[25] \limits^{i}\qquad k\geq {{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{2}}(2+2+2-3)={{\hspace{2}3\hspace{2}}\over{2}}$

درس:

المپياد- رياضي- جبر- نامساوي‌ها

نابرابری 1

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

نابرابری 1

نمونه تمرين پويا

پیمایش