داستان‌های ریاضی – استدلال 6

این یک داستان واقعی است و فقط نام‌ها تغییر داده شده‌اند.

زنگ اول، صبح، کلاس هشتم خیام

سلام بچه‌ها پیش از همه چیز امروز یک آزمون کوچک دقیقه‌ای داریم. هم زمان کلاس فارابی و ابن سینا هم مشغول همین آزمون هستند.
دقیقه از همین حالا شروع شد.

کسی نپرسید که چرا بخشی از کتاب نهم را برای آزمون آورده‌ام. کم و بیش همه خونسرد بودند و می‌نوشتند. دقیقه‌ی پنجم بهرام دستش را بالا برد و وقتی رسیدم آرام گفت: "این عبارت شرطی دو سویه نیست. آن چه گفته ربطی به آن چه خواسته ندارد." من هم مانند همیشه که در آزمون‌ها هیچ سخنی نمی‌گویم، شانه‌هایم را بالا انداختم. برگه‌ها که جمع شد، بسیار تعجب کرده بودند و می‌گفتند: "این چه آزمونی است؟ چه‌قدر ساده بود! برای چه چنین آزمونی گرفتید؟"

من: وقتی می‌نوشتید، نوشته‌های همه را دیدم و خواندم. حالا هم دو دقیقه خاموش می‌شویم و همه فکر کنند.

مرتضی پس از دو دقیقه: کسی هم درست نوشته بود؟

من: بچه‌ها مرتضی برای چه این سوال را می‌پرسد؟

حدود یک دقیقه همه خاموش بودند و دیدم که به جز بهرام و مرتضی، چهار نفر دیگر نگاهشان تغییر کرده است.

سروش: نمی دانم چرا دقت نکردم ولی (با اشاره‌ی من خاموش شد.)

پس از یک دقیقه رضا هم آهی کشید و دیدم که کم و بیش نیمی از بچه‌ها نگاهشان عوض شده است. پس از بهرام خواستم که کامل و دقیق توضیح دهد.

بهرام: در آن نوشته آمده بود که اگر باشد، در این صورت عدد حقیقی و مثبت وجود دارد به طوری که ‎a=b+p‎ باشد. یعنی اگر نابرابری را بدانیم، آن‌گاه می‌توانیم از وجود عدد حقیقی و مثبت p و نیز برابری ‎a=b+p‎ مطمئن شویم.
اما کاری که آن نوشته انجام داده و از ما نیز خواسته که انجام دهیم چیز دیگری است. در آن جا از این که ‎=y+4‎ است، نتیجه گرفته است که ‎x>y‎
این نتیجه‌گیری ربطی به گفته‌های قبلی نوشته ندارد. اگر هم درست باشد، ربطی به آن گذشته ندارد.

من: بچه‌ها، همه فکر کنید و ببینید بهرام بی‌راه می‌گوید یا گفته‌اش محکم و منطقی است.

حالا دیگر بیش‌تر بچه‌ها چهره ثابت و نگاه جدیدی داشتند.

علی به شوخی: یک دلیل درستی حرف‌های او همان است که نمی‌دانستیم. الان متوجه شده‌ایم که چرا چنین آزمونی گرفتید. کاش موقع نوشتن، به جای ذوق از سادگی آزمون حواسم را جمع می‌کردم.

من: خب، الان حواستان را شش دانگ جمع کنید و بگویید که بالاخره کتاب اشتباه گفته یا نه.

پس از دو دقیقه از چند نفری نظر خواستم. ولی گفتند که هنوز فکرشان جمع و جور نیست. یکی هم گفت که بهرام گفته‌هایش را تکرار کند. من هم از دیگران خواستم که هر که می‌تواند گفته‌های بهرام را دوباره بگوید.

مرتضی خیلی آرام و مطمئن: کتاب نهم گفته که از ‎a>‎ می‌توان نتیجه گرفت که عدد حقیقی و مثبت p هست به طوری که ‎a=+p‎ ولی بلافاصله عکس این کار را انجام داده است.
یعنی از ‎x=y+4‎ و این که مثبت است، نتیجه گرفت که ‎x>y‎ است. من هم مثل بهرام فکر می‌کنم که نتیجه‌گیری اگر هم درست باشد، ربطی به گفته‌های بخش رنگی کتاب ندارد. کتاب باید دلیل دیگری برای آن دست و پا می‌کرد.

من: بچه‌ها، من چیزی برای اضافه کردن ندارم. خودتان بسیار خوب گفتید. من خلاصه‌ی چیزی را که بهرام و علی گفتند به زبان ریاضی می‌نویسم.

این دو گزاره معنایشان یکی نیست. همان‌طور که قیافه‌شان هم یکی نیست. کسی می‌تواند مثالی غیر ریاضی بیاورد تا فرق این دو را پی ببریم.

مرتضی: "اگر آتش روشن باشد، آن‌گاه دود خواهیم دید." این جمله چنین معنایی ندارد که "اگر دود ببینیم، آن‌گاه باید آتشی روشن باشد." شاید دود به دلیل دیگری بالا می رود و دیده می‌شود.

آرش: "اگر کسی سیگار بکشد آن‌گاه سرطان خواهد گرفت" این جمله چنین معنایی ندارد که "اگر کسی سرطان دارد،‌ حتما باید سیگاری باشد." شاید به دلیل دیگری سرطان گرفته است.

من: خب بچه‌ها خوب است. می‌بینم که دیگران هم مثال‌هایی دارند. ببخشید. مثال‌ها را ادامه نمی‌دهیم. بحث را از جای دیگری ادامه می‌دهیم. بهرام و علی شما به یک موضوع دیگر نیز اشاره کردید. موضوعی که به خوبی و با احتیاط گفتید.

پس من به سراغ این احتیاط شما می‌روم.
هم بهرام و هم مرتضی گفتند: "اگر هم نتیجه‌گیری کتاب درست باشد، ربطی به بخش رنگی ندارد." حالا پرسش من این است. آیا واقعا نتیجه‌گیری کتاب درست است؟ و می توان دلیلی برای آن دست و پا کرد؟

علی: حتما آن چه مهم بوده است و کتاب آن را رنگی کرده است، یک جمله‌ی شرطی دوسویه بوده است که کوتاهی شده و دوسویه بیان نشده است.

من: علی کاملا درست می‌گوید. عالی هم می‌گوید. همین.

امین: واقعا در کتاب آموزش و پرورش چنین اشتباه و کوتاهی شده است؟ (کمی نگاه و اشاره‌های همراه با بازیگوشی بچه‌ها)

من: بچه‌ها، پیش‌تر دیده‌اید. من هم اشتباه می‌کنم. چه رسد به آموزش و پرورش. (لبخند بچه‌ها) بگذریم بچه‌ها. اشتباه شدنی است. سخت نگیرید. درست خواهد شد.

کلاس فارابی، (زنگ تفزیح داستان را شنیده بودند.) شروع کلاس ...

نیما: آزمون عادلانه نبود. من موضوع دوسویه نبودن شرط را فهمیدم، ولی نمی‌دانستم این آزمون شما است. درس دیگری داشتیم و روی سوال هم نشانی صفحه‌ی کتاب نهم را دیدم. فکر کردم آزمون از جایی آمده و باید بالاخره چیزی بنویسیم. اگر می‌گفتید که این آزمون شما است، دقیق‌تر می‌نوشتیم.

سه چهار نفری هم همین را گفتند.

من: به من کاری نداشته باشید و همیشه خوب فکر کنید. و هیچ‌گاه "بالاخره چیزی ننویسید." درس امروزمان همین است.

داستان‌هایی دیگر درباره‌ی استدلال
داستان‌های ریاضی – استدلال 1
داستان‌های ریاضی – استدلال 2
داستان‌های ریاضی – استدلال 3
داستان‌های ریاضی – استدلال 4
داستان‌های ریاضی – استدلال 5