طول ضلع مثلث متساوی‌الاضلاع (راه 2)

طول ارتفاع وارد بر قاعده‌ در مثلث متساوی‌الساقین APQ را محاسبه کنید. و سپس را امتداد دهید تا AB و AC را قطع کند.
توجه کنید که ارتفاع یاد شده، نیمساز زاویه‌ی BAC نیز هست.

ار هم‌نهشتی مثلث‌های ABP و ACQ می‌توان نشان داد که نیمساز (یا همان ارتفاع) مثلث APQ نیمساز زاویه‌ی نیز هست.

وسط PQ را می‌گیریم. با کمک قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث AHQ داریم:

ΔAHQ : AH ┴ PQ => AQ² = AH² + HQ²

AH² = 28 - = 27     (i)

اکنون برخورد امتداد PQ با AB را به ترتیب و E می‌نامیم.
روشن است که ‎∠HAE = 30˚‎ است. پس بنا بر قضیه‌ای داریم: ‎AE = HE‎
بنا بر قضیه‌ی فیثاغورس در مثلث AHE داریم:

ΔAHE : ∠AHE = 90˚ => AH² + HE² = AE² 27 + HE² = 4 HE²

=> 27 = 3 HE² => HE = 3 , HQ = => QE = 2     (ii)

اکنون تصویر Q بر AC را K می‌نامیم. در مثلث قائم‌الزاویه‌ی QKE اندازه‌ی زاویه‌ی EQK برابر 30 درجه است. و بنا بر قضیه‌ای داریم:

EK =

ΔQKE : ∠QKE = 90˚ => QE² = QK² + KE² => QK² = 4 - = 3     (iii)

ΔKQC : ∠QKC = 90˚ => QC² = QK² + KC² KC² = 16 - = 13 => KC = √13

=> AC = AE + KC - KE = 6 + √13 - 1

=> AC = 5 + √13