حل مساله - درسی به بزرگی اتوبوس (بخش 1)

اتوبوسی مسافر و یک راننده دارد. راننده هیچ پولی ندارد. کرایه‌ی هر مسافر برابر تومان است.
هر مسافر دست کم به اندازه‌ی کرایه‌ی خود پول دارد. هیچ دو نفری با هم نیستند و هر کس باید تنها کرایه‌ی خود را بدهد. مسافران تنها سکّه‌های 10، 20 و تومانی دارند. می‌دانیم که مجموع پول مسافران روی هم تومان است.
آیا حالتی وجود دارد که مسافران بتوانند کرایه‌های خود را بی بیش و کم پرداخت کنند و بروند؟ اگر بله، چه جوری؟ اگر نه، چرا؟

می‌پذیرم که مساله به نظر ساده نمی‌آید. ولی درس بزرگی را همین الان یاد بگیرید.
“از مساله نترسید و هر چه می‌فهمید بنویسید. حتّی اگر به نظرتان بسیار ساده بیایند و کارگشا نباشند.”

بسیاری از مساله‌های به ظاهر دشوار با همین فهم‌های ساده و به نظر بی‌فایده حل می‌شوند. پس خیلی سرراست سراغ مطالب ساده‌ای می‌رویم که به ذهن می‌رسند.

• 1- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 25 تومانی بدهد و تومانی پس بگیرد.
• 2- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 40 تومان بدهد و 25 تومانی پس بگیرد.
• 3- پرداخت تومان در بند پیش به سه روش شدنی است.
• 4- یکی از راه‌های پرداخت کرایه این است که مسافر 35 تومان بدهد و 20 تومانی پس بگیرد.
• 5- هر مسافر به اندازه‌ی کرایه‌ی خود پول دارد. پس هر مسافر دست کم 15 تومان پیش خود پول دارد.
• 6- بند 5 شدنی نیست.(چرا؟) پس هر مسافر دست کم تومان پیش خود پول دارد.
• 7- بند 6 هم شدنی نیست. (چرا؟) پس هر مسافر پیش خود دست کم 25 تومان پول دارد.
• 8- کرایه‌ی هر نفر 15 تومان است. پس کرایه‌ی همه‌ی 40 مسافر روی هم 600 تومان است.
• 9- پول همه‌ی مسافران روی هم 995 تومان است. پس همه‌ی مسافران روی هم، دست کم یک سکّه‌ی تومانی دارند.
• 10- از بند 9 می‌فهمیم که تعداد سکّه‌های 25 تومانی که پیش مسافران است، زوج نیست. بلکه فرد است.
• 11- همه‌ی 40 مسافر روی هم تومان پول دارند. یعنی تقریباً سهم هر کس از این پول، 995 تومان تقسیم بر 40 است. یعنی تقریباً هر کس 24.875 تومان پول دارد.
• 12- شدنی نیست که هر کس 24.875 تومان پول داشته باشد. پس برخی بیش از این مقدار و برخی کم‌تر از این مقدار پول دارند. پول هر مسافر باید مجموعی از عددهای 10 و 20 و باشد.
• 13- هیچ‌ کس نمی‌تواند در آغاز کرایه‌ی خود را بدهد و برود. چون راننده هیچ پولی ندارد. پس نفر نخست باید پول خود را به راننده بدهد و منتظر بایستد تا راننده بقیّه‌ی پول او را از نفر یا نفرهای بعدی بگیرد و بدهد.
• 14- یک مثال خوب این است که حسن 25 تومان داشته باشد و محبوبه تومان (مثلاً دو تا تومانی و یک 20 تومانی) و هر دو پولشان را به راننده بدهند. حسن یک 10 تومانی از راننده بگیرد و محبوبه هم یک 25 تومانی از راننده بگیرد و هر دو پیاده شوند و بروند.
• 15- مثال بند 14 را می‌توان جوری کامل‌تر کرد که حسن و بهرام هر یک 25 تومان داشته باشند و هر یک 10 تومان بگیرند و محبوبه هم 25 تومان بگیرد و هر سه پیاده شوند.

می‌توان بندهایی مانند بند 14 و را برای تعداد بیش‌تری از مسافران بررسی کرد. ولی خوب است که همین نتیجه‌ها را بار دیگر بخوانیم و تلاش کنیم تا ارتباطی احتمالی را بین آن‌ها ببینیم و بفهمیم.

به بند 7 و بند بیش‌تر توجّه کنید. مساله تقریباً حل شده است.

حلّ مساله

هر مسافر دست کم به اندازه‌ی کرایه‌ی خود پول دارد. یعنی هر مسافر باید دست کم 15 تومان پول داشته باشد. با توجّه به اندازه‌های سکّه‌های موجود، این شدنی نیست. سکّه‌ها 10 و 20 و 25 تومان هستند.
پس برای اینکه هر کس کرایه‌ی خود را داشته باشد، هر کس باید دست کم 20 تومان پول داشته باشد. امّا این هم شدنی نیست. زیرا چنان که مساله گفته است، هر مسافر باید تنها کرایه‌ی خود را بدهد و برود.
اگر مسافری تنها 20 تومان پول داشته باشد، راننده به هیچ روشی نمی‌تواند باقی پول او یعنی 5 تومان را پرداخت کند. پس هر مسافر باید دست کم 25 تومان پول پیش خود داشته باشد. (و در غیر این صورت تصوّر پرداخت کرایه‌ها شدنی نیست.) و این یعنی مجموع پول همه‌ی 40 مسافر روی هم برابر 1000 تومان است. امّا بنا بر گفته‌ی مساله این مقدار 995 تومان است. پس به هر حال پرداخت کرایه‌ی مسافران به هیچ روشی شدنی نیست.

ساده‌ترین نتیجه‌گیری‌هایی که به نظر هر کسی می‌رسد، در این مساله تقریباً بخش عمده‌ی راه حل را ساختند. خجالت نکشید و دست کم پیش خودتان و روی یک کاغذ، هر چه را می‌فهمید بنویسید.
اگر بتوانید چنین کنید، بزرگ‌ترین گام را در حلّ مساله برداشته‌اید. پس تمرین کنید.

بخش‌های دیگر این مساله را اینجا و اینجا ببینید.