داستان های استدلال - مجموع زاویه های درونی مثلث (بخش 2)

من: بچه‌ها، به زمان اعتراض نفیسه، لیلا و اعظم توجه کنید و تلاش کنید به اعتراض آن‌ها پی ببرید. پس از دو سه دقیقه فکر و مشورت بعضی با هم، چند نفر دیگر هم اشاره کردند که حرفی دارند. از بچه‌ها خواستم که هر که اعتراض نفیسه را فهمیده، دست بلند کند و در آن میان از فریبا خواستم حرف بزند.

فریبا: باران خواست که از $A$ عمودی بر BC بکشد. بدون هیچ دلیلی پای این عمود را درون AB و نه بر امتداد آن گرفت. پس طبیعی است که من تنها در صورتی استدلال او را بپذیرم که ارتفاع مثلّث، درون مثلّث باشد. و اگر ارتفاع بیرون مثلّث بیفتد، باید هیچ یک از حرف‌های باران را نپذیرم. شاید هم باید منتظر استدلالی برای این حالت باشم.

حرف‌های فریبا دقیق و درست بود. ولی باران شکل کوچکی کنار تخته کشیده بود و تند تند چیزهایی را بدخط می‌نوشت. چند نفر هم مانند او روی کاغذ‌های خودشان مثلّثی کشیده بودند که ارتفاع آن بیرون افتاده بود و مشغول محاسبه بودند.

الهام: باران بی‌دلیل ارتفاع $AH$ را درونی گرفت. ولی استدلال او قابل اصلاح است. زیرا حتی اگر ارتفاع AH بیرونی باشد، مثلّث بالاخره یک ارتفاع درونی دارد و او می تواند با همان ارتفاعی که حتما درونی است، کار راپیش ببرد.

لیلا: مشکل هنوز حل نشده است. چرا هر مثلّث حتما یک ارتفاع درونی دارد؟ چرا باید این جمله را بدون دلیل بپذیریم؟ اگر قرار است بدون دلیل چیزی را بپذیریم، خب یک راست سراغ اصل مطلب می رویم و بی‌دلیل می‌پذیریم که مجموع زاویه‌های درونی مثلّث برا ‎180˚‎ است.

من: خیلی خوب پیش آمده‌اید. همگی حرف‌های خوبی زدید. کمی فکر کنید و ببینید چاره چیست؟

باران: من در حالتی که ارتفاع AH بیرونی باشد، هم کار را تمام کردم. ولی فکر کنم از اول نباید راه پیشنهادی شما را در برگه‌ی پارسال تغییر می‌دادم. دردسر ساز شد!!

من: برای ارتفاع بیرونی چه کردی؟ مرتب بنویس.

باران شکل کشید و نوشت:

آموزش ریاضی استدلال هندسه هوشمند جمع زاویه های داخلی مثلث ABH مجموع زاویه‌های درونی مثلّث ‎ = ∠AHB + ∠HAB + ∠ABH‎
$ACH$ مجموع زاویه‌های مثلّث ‎ = ∠HAC + ∠AHC + ∠ACH‎