اصل ضرب -3

پسر و 4 دختر به چند روش می‌توانند در یک صف بایستند، اگر
الف) هیچ شرطی نداشته باشیم.
ب) بخواهیم همه‌ی پسرها پیش هم باشند.
پ) بخواهیم همه‌ی دخترها پیش هم باشند.
ت) بخواهیم پسرها پیش هم نباشند.
ث) بخواهیم نه پسرها و نه دخترها پیش هم نباشند.

یادآوری در بخش الف یاد گرفتیم که نفر به ‎n!‎ روش می‌توانند صف بکشند.
اکنون به بخش (پ) و (ت) این پرسش خواهیم پرداخت.

پ) بخواهیم همه‌ی دخترها پیش هم باشند.

برای این بخش مانند بخش (ب) به دو روش می‌توان ثابت کرد که پاسخ مساله برابر ‎4! × 4!‎ است.

ت) بخواهیم پسرها پیش هم نباشند.

این پرسش اصلا خوب گفته نشده است. باید صورت مساله را سر و سامان بدیهم. این که پسرها پیش هم نباشند، خیلی روشن نیست. گنگ است. دو معنی از آن برداشت می‌شود:

• چنین نباشد که همه‌ی پسرها پیش هم باشند.
• هیچ دو پسری پیش هم نباشند.

چنین نباشد که همه‌ی پسرها پیش هم باشند.

شمارش حالت‌های این مساله بسیار ساده و روان است. از اصل جمع کمک می‌گیریم. همه‌ی حالت‌های صف کشیدن این 3 پسر و دختر حالت است و در برخی از این حالت‌ها، هر سه پسر پیش هم هستند و در برخی حالت‌های دیگر چنین نیست. (یعنی هر سه پسر پیش هم نیستند، مثل این که تنها دو نفر از ایشان پیش هم باشند.)

فرض می‌کنیم:
a = شمار صف کشیدن پسر و 4 دختر، به شرطی که هر سه پسر پیش هم باشند.
b = شمار صف کشیدن 3 پسر و 4 دختر به شرطی که چنین نباشد که هر سه پسر پیش هم باشند.
از آن جا که این دو حالت اشتراکی ندارند و با انجام هر یک از این حالت‌ها کلّ کار (ت) انجام می‌شود، این دو حالت واقعا حالت‌های مختلف انجام کار (ت) هستند. پس بنا بر اصل جمع داریم:

شمار حالت‌های صف کشیدن 3 پسر و دختر ‎= a + b =>‎
7! = 3! × 5! + =>
b = 7! - 3! × 5!

هیچ دو پسری پیش هم نباشند.

شمارش این حالت‌ها نیز چندان پیچیده نیست. هیچ دو پسری نباید پیش هم باشند. یعنی هر پسر باید بین دو دختر در صف جای گرفته باشد. پس کار صف کشیدن را چند مرحله می‌کنیم:

• مرحله 1 - هر 4 دختر را در یک صف می‌ایستانیم.
• مرحله 2 - جای علی را در صف تعیین می‌کنیم.
• مرحله 3 - جای رضا را در صف تعییت می‌کنیم.
• مرحله 4 - جای سعید را در صف تعیین می‌کنیم.

مرحله 1 به سادگی به ‎4!‎ روش انجام‌پذیر است.
اکنون صف 4 نفره‌ی دخترها، پنج جا برای گنجاندن پسرها دارد. (4 جا پیش از هر دختر و یک جا پس از آخرین دختر) پس
مرحله 2 به 5 روش انجام‌پذیر است.
اکنون علی و 4 دختر یک صف 5 نفره ساخته‌اند. شاید برخی فکر کنند که جای دادن رضا در این صف به 6 روش انجام‌پذیر است. چنین نیست. سمت چپ و راست علی را نمی‌توان جای مناسبی برای رضا شمرد. هیچ دو پسری نباید پیش هم باشند. پس هنوز باید چنین فکر کنیم که در صف 4 نفره‌ی دخترها 5 جا برای گنجاندن پسرها بوده است که یکی از آن‌ها را علی گرفته است. پس
مرحله 3 به 4 روش انجام‌پذیر است.
و به دلیلی مشابه
مرحله 4 به 3 روش انجام‌پذیر است.
از طرفی اگر هر یک از مرحله‌های 1 تا انجام نشود، تنها بخشی از کار انجام شده است. پس این مرحله‌ها به درستی،‌ مرحله‌های انجام کار (ت) هستند. پس بنابر اصل ضرب، کار (ت) به ‎4! × 5 × 4 × 3‎ روش انجام پذیر است.

تمرین 1) توجّه کنید که ‎4! × × 4 × 3 = 5! × 4 × 3‎ است. آیا می‌توانید روشی مانند راهی که گفته شد پیدا کنید که در سه مرحله کار را به پایان برساند؟ یک مرحله به ‎5!‎ روش، یک مرحله به 4 روش و یک مرحله هم به 3 روش انجام‌پذیر باشد. تلاش کنید. سخت نیست.

تمرین 2) تلاش کنید به جای شمردن حالت‌های خواسته شده، حالت‌های ناخواسته را بشمارید. یعنی تلاش کنید حالت‌هایی را بشمارید که یا هر سه پسر پیش هم هستند، یا تنها دو پسر پیش هم هستند.
هشدار- در این روش برای شمارش حالت‌های ناخواسته، ممکن است دچار لغزش شوید. تمرین خوبی است.

لغزش‌های فراگیر

روش نادرست 1: می‌خواهیم هیچ دو پسری پیش هم نباشند. پس در آغاز، پسرها را به صف می‌ایستانیم و سپس دخترها را بین آن‌ها می‌ایستانیم تا پسرها پیش هم نباشند.

• مرحله 1 - هر 3 پسر را به صف می‌ایستانیم. پس از صف کشیدن پسرها، پیش از هر پسر و پس از آخرین پسر، درست جا به وجود می‌آید که دخترها را در این جاها می‌ایستانیم.

  

• مرحله 2 - هر 4 دختر را در صفی 4 نفره می‌ایستانیم.
• مرحله 3 - دخترها را با همان ترتیب صف نفره‌ی خودشان، در 4 جای به وجود آمده در صف 3 نفره‌ی پسرها جای می‌دهیم.

مرحله 1 به سادگی به ‎3!‎ روش انجام‌پذیر است.
مرحله 2 به سادگی به ‎4!‎ روش انجام‌پذیر است.
مرحله 3 به سادگی به یک روش انجام‌پذیر است.
پس بنا بر اصل ضرب کار (ت) به ‎3! × 4!‎ روش انجام‌پذیر است.

لغزش پیمان بی‌خودی
روشن است که در این راه حل پیمان بسته‌ایم که دخترها نیز پیش هم نباشند! پس پاسخی که یافته‌ایم، کم‌تر از آن چه باید است و یکی از سان‌هایی که نشمرده‌ایم این است:

سعید مریم رضا شهلا مرضیّه علی سارا

روش نادرست 2: می‌خواهیم هیچ دو پسری پیش هم نباشند. پس در آغاز دخترها را به صف می‌ایستانیم و سپس پسرها را در جاهای بین دخترها در صف جای می‌دهیم.

• مرحله 1 - هر دختر را به صف می‌ایستانیم.
  پس از صف کشیدن دخترها پیش از هر دختر و پس از آخرین دختر درست 5 جا به وجود می‌آید که پسرها را در این جاها می‌ایستانیم.
• مرحله 2 - هر 3 پسر را در صفی 3 نفره می‌ایستانیم.
• مرحله 3 - جای نخستین پسر (نخستین در صف 3 نفره‌ی پسرها) را در جاهای پنج گانه، در صف 4 نفره‌ی دخترها معیّن می‌کنیم.

مرحله 1 به سادگی به ‎4!‎ روش انجام‌پذیر است.
مرحله 2 به سادگی به ‎3!‎ روش انجام‌پذیر است.
مرحله 3 به سادگی به سه روش انجام‌پذیر است.

زیرا اگر نخستین پسر در جای 4 یا 5 بایستد، دیگر جایی برای پسرهای بعد از او نخواهد ماند. پس نخستین پسر در یکی از جاهای 1 و 2 و 3 می‌تواند بایستد و خود به خود پسرهای دیگر در صف، پس از او جای خواهند گرفت.
پس بنا بر اصل ضرب کار (ت) به ‎4! × 3! × 3‎ روش انجام‌پذیر است.

لغزش پیمان بی‌خودی
روشن است که در این راه حل پیمان بسته‌ایم که بین دو پسر درست یک دختر باشد و نه بیش‌تر. پس پاسخی که یافته‌ایم کم‌تر از آن چه باید است و یکی از سان‌هایی که نشمرده‌ایم این است:

سعید مریم رضا شهلا مرضیّه علی سارا

بسیار مهم
برای ورزیده شدن در ترکیبیّات سفارش به مساله حل کردن، رایج است. برخی هم کار کج و کوله‌ای می‌کنند و به جای مساله حل کردن، حلّ مساله‌ها را می‌خوانند! (برای دسته‌ی دوم دعا می‌کنیم تا به راه راست هدایت شوند.) باور کنید که یکی از به‌ترین راه‌های ورزیده شدن در ترکیبیّات، یافتن لغزش‌های راه نادرست است. ببینید:

دو راه نادرست گفته شد و لغزش‌های آن‌ها نیز بررسی شد. ولی هنوز جای موشکافی هست. این دو راه نادرست پاسخ‌های برابر پیدا نکردند. پس یکی کم‌تر از دیگری است. تلاش کنید با پاسخ دادن به پرسش‌های زیر موشکافی کنید.
آیا حالتی از کار (ت) هست که هیچ یک از دو راه نادرست آن را نشمرده باشند؟
آیا حالتی از کار (ت) هست که راه نادرست 1 آن را شمرده باشد و راه نادرست 2 آن را نشمرده باشد؟ کدام حالت؟ بنویسید.
آیا حالتی از کار (ت) هست که راه نادرست 2 آن را شمرده باشد و راه نادرست 1 آن را نشمرده باشد؟ کدام حالت؟ بنویسید.