حد مجموع 2

سعید پس از ناکامی در اولین استدلال خود، به بررسی و مطالعه پرداخت و این بار با دستی پر پیش آموزگار رفت. او راه حل زیر را از کتابی معتبر خلاصه‌برداری کرد و نشان داد:

$a= \lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}Sinx-xCosx\hspace{2}}\over{x^3}}}=\limits^1 \lim_{x\to 0} {\fs3{{\hspace{2}2Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}-x(2Cos^2{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}-1)\hspace{2}}\over{x^3}}} =\limits^2$

$=\limits^2 \lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}2Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}(Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}-{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}})+x-xCos^2{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{x^3}}} =\limits^3$

$=\limits^3 \lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}2Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{8}}}\times{\fs3{{\hspace{2}Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}-{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{({\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{2}})^3}}}+\lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}x(1-Cos^2{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}})\hspace{2}}\over{x^3}}}=\limits^4$

$=\limits^4 \lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{4}}}\times \lim_{x\to 0} {\fs3{{\hspace{2}Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}-{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{({\frac{\hspace{2}x\hspace{2}}{2}})^3}}}+\lim_{x\to 0}{\fs3{{\hspace{2}Sin^2{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{4({\over{\hspace{2}x\hspace{2}}{2}})^2}}}=\limits^5$

= ${{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{4}} a+{{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{4}}\to {{\hspace{2}3\hspace{2}}\over{4}}a={{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{4}}\to a={{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{3}}$

ولی آموزگار باز هم نپذیرفت و برابری شماره 3 را روی هوا و ناروا دانست. آموزگار گفت که "بسیار بد خلاصه کرده‌ای! اصل استدلال را جا انداخته‌ای."
سعید: خود شما همیشه از این قضیه کمک می‌گیرید:

$\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=\lim_{x\to 0}f(x)+\lim_{x\to 0}g(x)$

آموزگار: کم و بیش درست می‌گویی. من چنین چیزی نگفته‌ام. من درست مانند کتاب درسی به شما یاد دادم. ببین:

تکلیف آنلاین، آموزش ریاضی، حد، دیفرانسیل

سعید: من هم که همین را گفتم.
آموزگار: سعید جان. همین یعنی همین. نه شبیه به این. اکنون خوب گوش کن. چنان که در بیان دقیق کتاب می‌بینی برای کمک گرفتن از این قضیه باید فرض $\lim_{x\to a}f(x)=L_1$ و $\lim_{x\to a}g(x)=L_2$ را داشته باشیم.

ولی در بیان سایه روشن تو ( $\lim_{x\to a}f(x)+g(x)=\lim_{x\to a}f(x)+\lim_{x\to a}g(x)$ ) چنین چیزی به روشنی گفته نشده است. همین تاریکی تو را به لغزش وا داشته است. خوب نگاه کن.

می‌پذیرم که $\lim_{x\to a}{\fs3{{\hspace{2}x(1-Cos^2{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}})\hspace{2}}\over{x^3}}}$ وجود دارد و به کمک قضیه‌ها قابل محاسبه است. اما برای $\lim_{x\to a}{\fs3{{\hspace{2}2Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{8}}}\times {\fs3{{\hspace{2}Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}} -{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{({\over{\hspace{2}x\hspace{2}}{2}})^3}}}$ محکم‌تر از آن‌چه باید حرف زده‌ای. باید بیش‌تر احتیاط می‌کردی. سعید، تو نمی‌دانی که این حد وجود دارد پس نباید شتاب‌زده شوی و از قضیه‌ی 1 صفحه‌ی 73 کمک بگیری. گرفتی چه می‌گویم؟ "پیش از کمک گرفتن از هر قضیه‌ای، باید مطمئن شوی که فرض‌های قضیه را داری." و گرنه آن قضیه را نباید به کار ببری.
سعید: پس اگر در جایی، فرض‌های قضیه‌ی 1 درست نباشند، حکم فضیه نیز نادرست است. درست می‌گویم؟
آموزگار: سعید باز هم شتاب کردی. تمرین صفحه‌ی 85 کتاب دیفرانسیل را خوب موشکافی کن. پس از آن دیگر این لغزش را نخواهی داشت.

تکلیف آنلاین، آموزش ریاضی، حد، دیفرانسیل

سعید: خب من کجا لغزش کردم؟ آیا $\lim_{x\to a}{\fs3{{\hspace{2}2Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{8}}} \times {\fs3{{\hspace{2}Sin{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}} -{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}Cos{{\hspace{2}x\hspace{2}}\over{2}}\hspace{2}}\over{({\over{\hspace{2}x\hspace{2}}{2}})^3}}}$ وجود ندارد؟
آموزگار: موضوع پیچیده نیست. تو در استدلالت لازم داری که این حد وجود داشته باشد تا بتوانی از قضیه‌ی 1 کمک بگیری. ولی سراسر استدلال درباره‌ی وجود این حد خاموش است. نه استدلال کرده‌ای که این حد وجود دارد و نه استدلال کرده‌ای که وجود ندارد. در واقع بی‌سر و صدا فرض کرده‌ای که این حد وجود دارد و سپس از قضیه‌ی 1 کمک گرفته‌ای.
سعید: پس استدلال من درست نیست؟
آموزگار: درست می‌گویی! استدلالت درست نیست. به‌ترین چیزی که می‌توانستی بگویی این است:
"من فرض کرده‌ام که $\lim_{x\to a}{\fs3{{{\hspace{2}Sinx-xCosx\hspace{2}}\over{x^3}}}$ وجود دارد و مقدار این حد را a گرفته‌ام.

در این صورت با استدلال‌هایی که نوشته‌ام، این مقدار را برابر با ${{\hspace{2}1\hspace{2}}\over{3}}$ پیدا کرده‌ام. و اگر $\lim_{x\to a}{\fs3{{{\hspace{2}Sinx-xCosx\hspace{2}}\over{x^3}}}$ وجود نداشته باشد، همه‌ی استدلال من باید نادیده گرفته شود."

سعید: خوب است. پس در این صورت استدلال من قابل شنیدن است؟
آموزگار: کم و بیش! استدلال تو یک کاستی کوچک دیگر هم دارد. که خوب است تلاش کنی و آن را بیابی. راهنمایی می‌کنم. برای برابری 5 هم باید دلیلی دست و پا کنی.

ماجرای پیشین سعید ...

درس:

رياضي3

حد مجموع 2

نمونه تمرين پويا

پیمایش

ورود کاربر

حد مجموع 2

نمونه تمرين پويا

پیمایش