داستان‌های ریاضی – استدلال 4

معنای "هر" ، "همه" ، "هیچ" به زبان ریاضی

خب، آیسودا و دیگران. فعلا مساله‌تان را رها کنید و به من گوش کنید. من فهمیده‌ام که چرا پاسخ شما در گزینه‌ها نیست. مشکل از مساله نیست. شما باید طرز فکرتان را عوض کنید.
پریسا: ولی آیسودا کاملا درست ...
من: ببخشید که اجازه‌ی حرف زدن نمی‌دهم. اکنون جایی هستیم که من باید روند درس را نشان بدهم. همراهی کنید تا باز هم به شناخت استدلال نزدیک شوید.
امیدوارم امروز بتوانم تغییر بزرگی در طرز فکرتان پدید بیاورم. وقت کم است. نظرتان درباره‌ی این گزاره‌ها چیست؟

همه‌ی پرنده‌ها پرواز می‌کنند.
همه‌ی انسان‌ها چشم دارند.
همه‌ی جانوران هنگام غذا خوردن فک پایینی خود را تکان می‌دهند و فک بالایشان ثابت است.

سحر، فاطمه، سمیه و چند نفر دیگر: درست‌اند. هر سه جمله درست‌اند.
پریسا: درست‌اند. اما اگر ملا لغتی باشیم، ممکن است ایراد بگیریم که خروس پرواز نمی‌کند و فلان کس یک چشم ندارد و ... ولی کار خوبی نیست. هر سه جمله درست‌اند.
من: هر سه گزاره نادرست‌اند. ببین پریسا. پیش‌تر گفته بودم که استدلال گنگ و گرد نیست. ایهام و کنایه ندارد. شاید در زبان ما یک جمله در جاهای مختلف، با لحن‌های گوناگون، معنی‌های متفاوتی بدهد ولی در ریاضیات چنین نیست.

گزاره‌های ریاضی همیشه یک معنی دارند. فرقی نمی‌کند چه کسی، با چه لحنی آن را بگوید یا بنویسد. ریاضی‌دانان برای پرهیز از برداشت‌های گوناگون چنین قرارداد کرده‌اند. آن‌ها قرارداد کرده‌اند که یک جمله‌ی کلی (با "هر"، "همه"، "هیچ") تنها هنگامی درست است که هیچ مثال نقضی نداشته باشد.
بنابراین از دید آن‌ها هیچ یک از سه گزاره‌ی و و درست نیست.

گزاره‌ی درست نیست، چون خروس پرواز نمی‌کند.
گزاره‌ی درست نیست، چون علی کیشی (پدر کوراوغلو) کور بود.
گزاره‌ی نیز درست نیست، چون تمساح برای غذا خوردن فک بالای خود را تکان می‌دهد.

زهرا: واقعا ریاضی‌دان‌ها خواسته‌اند این قدر ملا لغتی باشند؟ این که خوب نیست. تازه، چرا می‌خواهید ما هم چنین اخلاقی داشته باشیم؟
من: نمی‌خواهم در زندگی با اطرافیان ملا لغتی باشید. زندگی‌تان را مانند گذشته ادامه بدهید و از کسی عیب‌جویی نکنید و باعث آزار و اذیت و زحمت دیگران نشوید. من هم همین کار را می‌کنم. ولی زبان ریاضی چنین است که گفتم. پس اگر می‌خواهید متن ریاضی بخوانید یا بنویسید باید با روش و زبان ریاضی آشنا باشید.
می‌دانم به زبان مادری و روزانه خود خو گرفته‌اید. ولی هنگامی که صورت مساله را می‌خوانید، هنگامی که کار ریاضی می‌کنید، باید آن را کنار بگذارید.

همه‌تان گزاره‌ی زیر را با لحنی ویژه شنیده‌اید:

"هر گردی گردو نیست"

در زبان روزمره منظور از گزاره‌ی یاد شده این است که "بعضی گردها گردو نیستند."
نرگس: مگر ریاضی‌دان‌ها غیر از این فکر می‌کنند؟
من: بله. چشم‌های گرد شده‌تان را باز نگه دارید تا بگویم. ریاضی‌دان‌ها از این گزاره این را می‌فهمند: "هیچ گردی گردو نیست."

ریاضی‌دان‌ها این دو گزاره را یکی می‌دانند:
هر دانش‌آموز این کلاس ساعت ندارد.
هیچ یک از دانش‌آموزان این کلاس ساعت ندارند.

و مهم‌تر این که به لحن خوانده شدن این دو گزاره، هیچ اهمیتی نمی‌دهند.
اگر واقعا هیچ یک از شما ساعت نداشته باشید، هر دو گزاره‌ی و را درست می‌دانند.
و اگر یک نفر (یا بیش‌تر یک نفر) از شما ساعت داشته باشد، (داشته باشند) هر دو گزاره‌ی و را نادرست می‌دانند.

نرگس: و اگر همه‌ی ما ساعت داشته باشیم، جمله‌های 1 و 2 خیلی غلط هستند؟
من: نه،‌ باز هم نادرست هستند. در ریاضیات گزاره‌ی خیلی نادرست، کمی درست و ... نداریم. سخن را کوتاه می‌کنم. اگر ریاضی‌دان‌ها بخواهند بگویند "بعضی گردها گردو نیستند." می‌گویند: "بعضی گردها گردو نیستند." همین.

می‌بینید؟ بسیار ساده و روشن حرف می‌زنند. و هنگامی که می‌گویند: "هر دو دانش‌آموز این کلاس با هم دوست هستند." منظورشان این است که واقعا هر دو نفر از دانش‌آموزان این کلاس با هم دوست‌اند. شما نفر در این کلاس هستید. در واقع منظور ریاضی‌دان‌ها از گزاره‌ی یاد شده گزاره است:

1- نرگس و زهرا دوست‌اند.
2- نرگس و پریسا دوست‌اند.
3- نرگس و منا دوست‌اند.
...
21- نرگس و فاطمه دوست‌اند.
22- نرگس و سحر دوست‌اند.
------------------------------
23- زهرا و پریسا دوست‌اند.
24- زهرا و منا دوست‌اند.
...
43- زهرا و سحر دوست‌اند.
------------------------------
44- پریسا و منا دوست‌اند.
...
------------------------------
253- فاطمه و سحر دوست‌اند.