۱- ثابت کنید در پرتاب n تاس شش وجهی معمولی مجموع عددهای رو شده، 5n+1 حالت ممکن دارد.
۲- تعداد n خط در صفحه داریم که هیچ دو تایی موازی نیستند و هیچ سه تایی همرس نیستند. تعداد ناحیه‌هایی که این خط‌ها در صفحه می‌سازند چند تا است؟
۳- دو سکو به نام‌های الف و ب داریم. n مکعب که شماره‌های 1 تا n روی آن‌ها نوشته شده است با ترتیبی دلخواه روی سکوی الف هستند. تنها یک بازوی مکانیکی در اختیار داریم که با گرفتن دستوری شبیه m(p) همه‌ی مکعب‌هایی که بالای مکعب p هستند را به همراه خود p از سکویی که قرار دارند بلند می‌کند و به سکوی دیگر (اگر خالی باشد.) یا روی ستون مکعب‌های قرار گرفته روی سکوی دیگر می‌برد. ثابت کنید به هر حال می‌توان با 2n-2 دستور همه‌ی مکعب‌ها را به ترتیب صعودی روی سکوی ب چید.
۴- تعداد n خط در صفحه داریم که هیچ دو تایی موازی نیستند و هیچ سه تایی همرس نیستند. ثابت کنید ناحیه‌های ساخته شده در صفحه را می‌توان با دو رنگ چنان رنگ کرد که هیچ دو همسایه‌ای همرنگ نباشند. دو ناحیه همسایه هستند اگر و تنها اگر در یک پاره خط یا یک نیم خط مشترک باشند.
۵- ثابت کنید
۶- ثابت کنید عددی که 3n رقمی است و همه‌ی رقم‌های آن یک هستند بر 3
n بخش‌پذیر است.
۷- ثابت کنید n
3+(n+1)
3+(n+2)
3 بر ۹ بخش‌پذیر است.
۸- ثابت کنید 2
3n+1 بر 3
n+1 بخش‌پذیر است.
۹- ثابت کنید 11
n+2+12
2n+1 بر 133 بخش‌پذیر است.
۱۰- ثابت کنید 4
n+15n-1 بر ۹ بخش‌پذیر است.
۱۱- ثابت کنید هر عدد طبیعی را می‌توان به صورت مجموعی از توان‌های ۲ نوشت.
۱۲- اگر a+d و (b-1)c و ab-a+c بر عدد طبیعی m بخش‌پذیر باشند ثابت کنید به ازای هر عدد طبیعی n عدد ab
n+cn+d نیز بر m بخش‌پذیر است.
۱۳- اگر
عددی صحیح باشد به ازای هر عدد طبیعی n ثابت کنید
نیز صحیح است.
۱۴- دنباله‌ی a
i به صورت a
1=3 و a
2=5 و برای nهای بزرگ‌تر از ۲ به صورت a
n+1=3a
n-2a
n-1 تعریف شده است. برای هر عدد طبیعی n ثابت کنید a
n=2
n+1
۱۵- دنباله‌ی a
i به صورت a
1=1 و a
2=2 و برای nهای بزرگ‌تر از ۲ به صورت a
n+1=a
n-a
n-1 تعریف شده است. برای هر عدد طبیعی n ثابت کنید a
n+6=a
n
۱۶- ثابت کنید هر عدد طبیعی را می‌توان به صورت مجموعی از عددهای دنباله‌ی فیبوناچی نوشت.
۱۷- ثابت کنید عضو a
n از دنباله‌ی فیبوناچی بر 3 بخش‌پذیر است اگر و تنها اگر n بر 4 بخش‌پذیر باشد.
@ghadamcom
