هم‌نهشتی مثلّث‌ها بخش1

ضلع رو به رو به زاویه در مثلّث
کدام یک از تعریف‌های زیر برای ضلع رو به رو به یک زاویه از مثلّث درست است؟ کدام نادرست است؟ چرا؟

۱- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود که درون آن زاویه باشد.
۲- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود اگر و تنها اگر هر یک از راس‌های آن ضلع روی یکی از ضلع‌های آن زاویه جای گرفته باشد.
۳- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود که هر یک از راس‌های آن ضلع روی یک و تنها یکی از ضلع‌های آن زاویه جای گرفته باشد.
۴- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود اگر و تنها اگر هر یک از راس‌های آن ضلع روی یک و تنها یکی از ضلع‌های آن زاویه جای گرفته باشد.
۵- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود که راس آن زاویه روی آن ضلع نباشد.
۶- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود اگر و تنها اگر راس آن زاویه روی آن ضلع نباشد.
7- در مثلّث ضلعی رو به رو به زاویه‌ی درونی مثلّث نامیده می‌شود اگر و تنها اگر هر دو راس آن ضلع روی یکی از ضلع‌های آن زاویه جای نگرفته باشند.

۸- دست کم دو بیان مختلف و درست برای تعریف زاویه‌ی درونی رو به رو به یک ضلع مثلّث دست و پا کنید.
۹- دست کم دو بیان مختلف و درست برای زاویه‌ی بین دو ضلع در یک مثلّث پیدا کنید.
۱۰- زاویه‌ی بین دو ضلع در یک مثلّث را تعریف کنید. بی‌آن که به راس این زاویه اشاره‌ای بکنید.
۱۱- دست کم دو بیان مختلف و درست برای ضلع بین دو زاویه‌ی درونی یک مثلّث پیدا کنید.

تعریف هم‌نهشتی دو مثلّث
دو مثلّث هم‌نهشت هستند اگر و تنها اگر گزاره‌های الف، ب و پ درست باشند.
الف) هر یک از ضلع‌های یکی از این دو مثلّث با یکی از ضلع‌های مثلّث دیگر هم طول باشد.
ب) اگر یک ضلع از یکی از این دو مثلّث با ضلعی از مثلّث دیگر هم طول بود آن گاه زاویه‌های روبروی آن‌ها نیز هم اندازه باشند. (برابری بخش‌های نظیر)
پ) اگر یک زاویه‌ی درونی از یکی از این دو مثلّث با یک زاویه‌ی درونی از مثلّث دیگر هم اندازه بود آن گاه ضلع‌های رو به روی این دو زاویه نیز هم طول باشند. (برابری بخش‌های نظیر)
۱۲- در دو مثلّث ABC و PQR می‌دانیم دو ضلع AB و QR هم طول هستند و دو ضلع BC و PQ نیز هم طول اند. هم چنین می‌دانیم که دو زاویه‌ی ABC و PQR هم اندازه هستند. اگر بدانیم که این دو مثلّث هم‌نهشت هستند، همه‌ی ضلع‌ها و زاویه‌های برابر این دو مثلّث را دقیقا مشخّص کنید. برای هر یک از ادّعاهای خود دلیل بیاورید.

اصل۱ (ض ز ض)
اگر یک ضلع از یک مثلّث (مثلّث نخست) با یک ضلع از مثلّث دیگر (مثلّث دوم) هم طول باشد و یکی دیگر از ضلع‌های مثلّث نخست با یکی دیگر از ضلع‌های مثلّث دوم هم طول باشد و زاویه‌ی بین دو ضلع یاد شده در مثلّث نخست نیز با زاویه‌ی بین دو ضلع یاد شده از مثلّث دوم هم اندازه باشند، آن گاه این دو مثلّث هم نهشت هستند.

۱۳- هوشنگ اصل۱ را چنین بیان کرده است. «اگر دو ضلع از مثلّث نخست با دو ضلع از مثلّث دوم هم طول باشند و زاویه‌ی بین دو ضلع یاد شده از مثلّث نخست با زاویه‌ی بین دو ضلع یاد شده از مثلّث دوم هم اندازه باشند آن‌ گاه این دو مثلّث هم‌نهشت هستند.» ولی بهرام بیان او را مبهم می‌داند و می‌گوید «هم طول بودن دو ضلع با دو ضلع دیگر تعبیر مشخّصی نیست و ابهام دارد.» نظر شما چیست؟

قضیّه (ز ض ز)
اگر یک زاویه از یک مثلّث (مثلّث نخست) با یک زاویه از مثلّث دیگر (مثلّث دوم) هم اندازه باشد و یکی دیگر از زاویه‌های مثلّث نخست با یکی دیگر از زاویه‌های مثلّث دوم هم اندازه باشد و ضلع بین دو زاویه‌ی یاد شده در مثلّث نخست نیز با ضلع بین دو زاویه‌ی یاد شده از مثلّث دوم هم طول باشند، آن گاه این دو مثلّث هم نهشت هستند.

۱۴- دو مثلّث مثال بزنید که هم نهشت نباشند ولی هر دو گزاره‌ی الف و ب در مورد آن‌ها درست باشد.
الف) هر یک از ضلع‌های مثلّث نخست با یکی از ضلع‌های مثلّث دوم هم طول است.
ب) هر یک از ضلع‌های مثلّث دوم با یکی از ضلع‌های مثلّث نخست هم طول است.
۱۵- چنان که همگی شنیده‌ایم «دو مثلّث به حالت هم طول بودن سه ضلع هم‌نهشت هستند.» بدون نامگذاری راس‌های دو مثلّث، یک بیان دقیق و درست یرای این قضیّه پیدا کنید.

قضیّه (ض ض ض)
در دو مثلّث ABC و PQR می‌دانیم و و ثابت کنید این دو مثلّث هم‌نهشت هستند.

۱۶- کسی پس از دیدن راهنمایی مفصّل بالا استدلال را چنین ادامه می‌دهد که «چون هر دو مثلّث ABC و PQR با مثلّث SBC هم‌نهشت هستند، نتیجه می‌شود که خود دو مثلّث ABC و PQR نیز هم‌نهشت هستند.» چرا این استدلال هنوز کافی نیست؟
۱۷- به کمک راهنمایی مفصّل اثبات قضیّه‌ی ض ض ض را درست و دقیق و کامل بنویسید.

پیدا کردن مثلّث‌های هم‌نهشت و نیز پیدا کردن بخش‌های نظیر و برابر در دو مثلّث هم‌نهشت دو کاری هستند که برای مسلّط و روان شدن در آن‌ها باید تمرین کنید. این دو کار از زیباترین ترفندهای حلّ مساله هستند.

پیدا کردن هم‌نهشتی

در مساله‌های زیر یک شکل خوب بکشید (اگر می‌توانید از کاغذ کمک نگیرید و شکل را در ذهنتان بکشید.) و هم‌نهشتی‌های خواسته شده را بیابید.

۱۸- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. قاعده‌ی BC را از سوی B تا P و از سوی C تا Q به یک اندازه امتداد می‌دهیم. دو جفت مثلّث هم‌نهشت نام ببرید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۱۹- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. روی قاعده‌ی BC دو نقطه‌ی P و Q چنان جای دارند که است. دو جفت مثلّث هم‌نهشت نام ببرید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۰- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. روی ساق‌های AB و AC به ترتیب دو نقطه‌ی L و K چنان جای دارند که است. دو جفت مثلّث هم‌نهشت نام ببرید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۱- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. روی امتداد ساق‌های AB از سوی B و AC از سوی C به ترتیب دو نقطه‌ی L و K چنان جای دارند که است. دو جفت مثلّث هم‌نهشت نام ببرید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۲- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. ساق‌های AB و AC را به یک اندازه از سوی A به ترتیب تا نقطه‌های L و K ادامه می‌دهیم. سه جفت مثلّث هم‌نهشت نام ببرید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۳- در مساله‌ی ۲۲ کسی هم‌نهشتی دو مثلّث ACL و ABK را به درستی و دقّت اثبات کرده است. سپس او با اضافه کردن مثلّث AKL به دو مثلّث یادد شده استدلال می‌کند که دو مثلّث KLB و KLC نیز هم‌نهشت هستند. استدلال او چرا نادرست است؟
۲۴- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. قاعده‌ی BC را از دو راس B و C به یک اندازه به ترتیب تا نقطه‌های P و Q ادامه می‌دهیم. هم چنین دو ساق AB و AC را از سوی A به یک اندازه به ترتیب تا نقطه‌های L و K ادامه می‌دهیم. هفت جفت مثلّث هم‌نهشت پیدا کنید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۵- کسی در مساله‌ی ۲۴ ادّعا کرده است که تنها با یک هم‌نهشتی توانسته است تا برابری طول‌های دو پاره خطّ QL و PK را ثابت کند. آیا او درست می‌گوید؟
۲۶- مثلّث ABC در راس A متساوی‌السّاقین است. قاعده‌ی BC را از دو راس B و C به یک اندازه به ترتیب تا نقطه‌های P و Q ادامه می‌دهیم. هم چنین ساق‌های AB و AC را از سوی B و C به یک اندازه به ترتیب تا نقطه‌ی L و K ادامه می‌دهیم. هفت جفت مثلّث هم‌نهشت پیدا کنید و دلیل درستی ادّعای خود را به دقّت بنویسید.
۲۷- در مساله‌ی ۲۶ تنها به کمک دو هم‌نهشتی ثابت کنید دو زاویه‌ی BKP و CLQ هم اندازه هستند.
۲۸- در مساله‌ی ۲۶ تنها به کمک یک هم‌نهشتی ثابت کنید دو زاویه‌ی BKC و CLB هم اندازه هستند.
۲۹- در مساله‌ی ۲۶ بدون کمک از هم‌نهشتی دو مثلّث PKC و QLB ثابت کنید دو پاره خطّ PK و QL هم طول هستند.
۳۰- در مساله‌ی ۲۰ ثابت کنید خطّی که از وسط KL و وسط BC می‌گذرد از A نیز می‌گذرد و هم بر KL و هم بر BC عمود است.
۳۱- در مساله‌ی ۲۰ ثابت کنید خطّی که از A و برخورد دو خطّ BK و CL می‌گذرد بر BC عمود است.