پرسش‌های المپیاد جبر سری۲

تعریف جزء صحیح یک عدد حقیقی
عدد x را عددی حقیقی می‌گیریم. در این صورت عدد صحیح n جزء صحیح x است اگر و تنها اگر n بزرگ‌ترین عدد صحیح کوچک‌تر یا برابر با x باشد. به عبارتی دیگر

$n \in \mathbb{N}, \hspace{5}x \in \mathbb{R}, \hspace{5}n\le x \lt n+1 \hspace{5}\longrightarrow \hspace{5} \[x\]=n$

۱- اگر x عددی حقیقی و n عددی صحیح باشد، ثابت کنید n جزء صحیح x است اگر و تنها اگر داشته باشیم:

$x-1 \lt n \le x$

۲- اگر x عددی حقیقی و n عددی صحیح باشد، ثابت کنید

$x \lt n \hspace{5} \Longleftrightarrow \hspace{5} \[x\]\lt n$

۳- اگر x عددی حقیقی و n عددی صحیح باشد، ثابت کنید n جزء صحیح x است اگر و تنها اگر داشته باشیم:

$x \le n \hspace{5} \Longleftrightarrow \hspace{5} \[x\]\le n$

۴- اگر x عددی حقیقی و n عددی صحیح باشد، ثابت کنید

$\[x+n\] = \[x\] + n$

۵- اگر x و y دو عددی حقیقی باشند، ثابت کنید

$\[x\]+ \[y\] \hspace{4}\le \hspace{4} \[x+y\] \hspace{4}\le \hspace{4}\[x\] + \[y\]+1$

۶- اگر x و y دو عددی حقیقی باشند، ثابت کنید

$x \le y \hspace{4} \longrightarrow \hspace{4} \[x\] \hspace{4}\le \hspace{4} \[y\]$

۷- اگر x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\[x\]+\[-x\]=\left\{0\text{ if x \in \mathbb{Z}}\\-1\text{ if x \notin \mathbb{Z}}\right.$

۸- اگر x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\fs4 \[\[x\]\]=\[x\]$

۹- اگر m و n دو عدد صحیح باشند و n برابر با صفر نباشد، ثابت کنید

$\fs4 0\hspace{3} \le \hspace{3} \frac{m}{n}-\[\frac{m}{n}\] \hspace{3} \le \hspace{3} 1- \frac{1}{|n|}$

۱۰- اگر m و n دو عدد طبیعی باشند و x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\fs4 m\hspace{3} \le \hspace{3} \[\frac{x}{n}\] \hspace{3} \Longleftrightarrow \hspace{3} n\hspace{3} \le \hspace{3} \[\frac{x}{m}\] \hspace{3} \Longleftrightarrow \hspace{3} n\hspace{3} \le \hspace{3} \frac{\[x\]}{m} \hspace{3}$

۱۱- اگر m و n دو عدد طبیعی باشند و x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\fs4 \[ \frac{x+m}{n}\] \hspace{3} = \hspace{3} \[ \frac{\[x\]+m}{n}\]$

۱۲- اگر x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\fs4 \[ x+\frac{1}{2}\] \hspace{3} = \hspace{3} \[ 2x\] -\[x\]$

۱۳- اگر m و n دو عدد طبیعی باشند، ثابت کنید

$\fs4 n \hspace{3} = \hspace{3} \[\frac{n}{m}\] + \[\frac{n+1}{m}\] +\hspace{3} ... \hspace{3}+ \[\frac{n+m-1}{m}\]$

۱۴- اگر n عددی طبیعی و x عددی حقیقی باشد، ثابت کنید

$\fs4 \[nx\] \hspace{3} = \hspace{3} \[x\] + \[x+\frac{1}{n}\] + \[x+\frac{2}{n}\] +\hspace{3} ... \hspace{3}+ \[x+\frac{n-1}{n}\]$

۱۵- اگر k عددی طبیعی باشد، ثابت کنید دو عدد زیر با هم برابر نیستند.

$\fs4 \[k\frac{1+\sqrt 5}{2}\]\hspace{3} ,\hspace{3} \[k\frac{3+\sqrt 5}{2}\]$

۱۶- اگر k عددی طبیعی باشد، ثابت کنید اختلاف دو عدد زیر برابر با k است.

$\fs4 \[k\frac{1+\sqrt 5}{2}\]\hspace{3} ,\hspace{3} \[k\frac{3+\sqrt 5}{2}\]$

۱۷- اگر k و p دو عدد طبیعی متمایز باشند، ثابت کنید عددهای زیر چهار عدد متمایز هستند.

$\fs4 \[k\frac{1+\sqrt 5}{2}\]\hspace{3} ,\hspace{3} \[k\frac{3+\sqrt 5}{2}\]\hspace{3} ,\hspace{3} \[p\frac{1+\sqrt 5}{2}\]\hspace{3} ,\hspace{3} \[p\frac{3+\sqrt 5}{2}\]$