داستان های استدلال - مجموع زاویه های درونی مثلث (بخش 3)

مرضیه: الان با نوشته‌ی جدید باران حرف او کامل شده است. ولی من راهی ساده‌تر پیدا کرده‌ام. من ابتدا پاره‌خط را می‌کشم. سپس را روی BC و نه بر امتداد آن می‌گیرم. (همین جا از نگاه دو سه نفر پیدا بود که همه ی حرف مرضیه را گرفته‌اند.) از H عمودی بر BC خارج می‌کنم و بر این عمود نقطه‌ی دلخواهی به جز H می‌گیرم و آن را A می‌نامم.
الان در مثلّث ABC مطمئن هستیم که ارتفاع AH درونی است و تمام حرف‌های باران را درباره‌ی آن می‌گوییم و کار تمام می‌شود.

نرگس: مرضیه استدلال باران را کامل نکرد. بلکه توانست ثابت کند که مثلّثی وجود دارد که یک ارتفاع درونی دارد. پس من حق دارم که ‎180˚‎ بودن مجموع زاویه‌های درونی مثلّث را تنها برای مثلّث‌هایی بپذیرم که یک ارتفاع درونی دارند.

سمیه: پس از حرف اولیه‌ی باران هم همین موضع را داشتیم. یعنی این حرف مرضیه هیچ فایده‌ای نداشت؟

من: نه. نه. باران در حرف اوّلیّه‌ی خود استدلالش را در یک مثلّثی که ارتفاع درونی داشت، گفت و اصلا اشاره نکرد که چنین مثلّثی وجود دارد یا نه! پس ممکن بود ما اساسا حرف او را نپذیریم و بگوییم "مثلّثی که ارتفاع درونی داشته باشد، اصلا وجود ندارد!"
ولی الان با این حرف مرضیّه، این اعتراض ما دیگر وارد نیست. مرضیّه ثابت کرده است که چنین مثلّث‌هایی وجود دارند و حرف اولیّه‌ی باران دست کم درباره‌ی این مثلّث‌ها درست است.

مرضیّه: ولی الان فکر می‌کنم که حرف مهم‌تری زده‌ام. وقتی مجموع زاویه‌های چنین مثلّثی، برابر ‎180˚‎ است، چرا باید در دیگر مثلّث‌ها ‎180˚‎ نباشد. در واقع ما مجموع زاویه‌های مثلّث را پیدا کرده‌ایم.

من مرضیّه و دیگران را نگاه کردم و شانه‌هایم را بالا بردم. و اظهار بی‌اطّلاعی کردم.

مرضیّه: خودم فهمیدم. اگر ثابت کنم که هر مثلّثی حتما یک ارتفاع درونی دارد، می‌توانم استدلال اولیه‌ی باران را در آن تکرار کنم و مطمئن شوم که مجموع زاویه‌‌های درونی آن ‎180˚‎ است.
ولی من تنها ثابت کرده که مثلّث‌هایی هستند که ارتفاع درونی دارند. و بنابراین تنها می توانم مطمئن شوم که مجموع زاویه‌های درونی چنین مثلّث‌هایی ‎180˚‎ است. و شاید مثلّث‌های دیگر مجموع زاویه‌های درونی‌شان چیز دیگری باشد. درسته خانم؟

من باز هم شانه‌هایم را بالا انداختم و اظهار بی اطّلاعی کردم. این بار خیلی‌ها چنین انتظاری نداشتند و جور دیگری نگاه می‌کردند.

نرگس: من حدس می‌زنم که تغییر باران و اصل راهنمایی شما را فهمیده‌ام. فکر کنم اگر ارتفاع نکشیم، حرفمان (منظور استدلالمان) در همه‌ی مثلّث‌ها قابل تکرار است و کار به سادگی پیش می‌رود.

من: همه به حرف نرگس فکر کنید.

دو دقیقه‌ی دیگر، نرگس پای تخته:
در مثلّث ABC راس A را به نقطه‌ی دلخواه از BC و در امتداد BC وصل می‌کنیم. داریم:

ABP مجموع زاویه‌های درونی مثلّث ‎ = ∠BAP + ∠ABP + ∠APB‎
مجموع زاویه‌های مثلّث ‎ = ∠CAP + ∠ACP + ∠APC‎

حالا دو برابری را با هم جمع می‌کنیم.

+ x = (∠BAP + ∠CAP) + ∠ABC + ∠ACB + (∠APB + ∠APC)
2 x = ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB + 180˚
2 x = + 180˚ => 2 x - x = 180˚ => x = 180˚

من: توجّه کنید که باران در آغاز استدلالی را ساخت، اما مشکل داشت. این مشکل چند جور برطرف شد:

• 1- خودش و دیگران برای ارتفاعی که بیرون بیفتد نیز استدلال مشابهی با کمی تغییرات پیدا کردند.
• 2- مرضیّه ثابت کرد که مثلّث‌هایی با ارتفاع درونی وجود دارند. پس مجموع زاویه‌های درونی آن‌ها ‎180˚‎ است. و بنابراین برای مثلّث‌های دیگر نیز مجموع همین است.
  اما همین جا مرضیّه دوباره یادآوری کرد که این جوری استدلال کامل نمی‌شود و هنوز کار ایراد دارد.
• 3- نرگس ارتفاع را رها کرد و با خطّی دلخواه که راس را به جایی از ضلع BC وصل می‌کند، کار را تمام کرد.

بچّه‌ها شما کدام را می‌پسندید؟ دو دقیقه فکر کنید.

ادامه دارد ....

بخش‌های دیگر این داستان:

• بخش 1
• بخش 2
• بخش 4